MAXIMA TIPS (VERSION 0.0.18)

1. はじめに (copy right など)

この文書はもともと (主として Linux 版の) Maxima (バージョン 5.9.3 以降) について、使い方を自分用の忘備録としてまとめたものです。 (0.0.15 時点で 5.47.0 を使っていて、その機能をもとに書いています。なので過去のバージョンとはそぐわないところがあるかもしれません。 ) この文書は書きかけです。

この文書は GNU Free Documentation License (version 1.1 あるいはそれ以降) に従います。

     (c) Copyright 2000 Yoshifumi Tsuchimoto
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      and with no Back-Cover Texts.
      A copy of the license is included in the section entitled "GNU
      Free Documentation License".

2. 関連リンク

ponpoko さまのはとても参考になります。

もあります。

その他、 maxima 関連の web page も増えてきたように感じます。ググってみてください。

3. 一般的な注意

Maxima は、大文字、小文字を区別します。

(以前はちょっと違ったようですが、少なくとも version 5.9.3 では完全に区別されているようです。 )

3.1. 起動の仕方と終了の仕方 (control-D,quit()). kterm や rxvt のコマンドラインから、

maxima

と打てば Maxima が起動します。 control-D (control キーを押しながら d キーを押す) と打つと終ります。もしくは

quit();

と打つのも maxima を終了する方法です。こちらのほうが由緒正しい終わりかたという気がしますね。 3.2. プログラムを作って読み込ませる。 (batch). Maxima のプロンプトにいろいろいれて、遊ぶこともできますが、やはり慣れたエディタでプログラムを書いていった方が楽です。

プログラムを読み込むには、

batch("xx.maxima");

などと、 batch コマンドを Maxima のプロンプトにいれれば OK です。あるいは、 Maxima を起動するときに -b オプションの引数として指定することもできます。

maxima -b  xx.maxima

てな感じです。

3.2.1. コメント行 ( /*...*/). Maxima では /* で始まって、 */ で終わる部分はコメントとみなされます。

(コメントとはそのプログラムを読む人間のために書かれた文章で、コンピュータにとってはあってもなくても同じ、という類のものです。 Maxima に限らず、どんなプログラムでも、簡単な使い方やプログラムを使うためのポイントなどのコメントをいれておくことは大事です。 )

これは C(++) ではおなじみですね。

3.3. ゴワサンで願いましては (reset();) 今まで計算して来た結果を全て一旦破棄して、もう一度一番始めから計算したい時があります。そのようなとき、 maxima を一旦終了してもう一度起動してもよいのですが、

reset();

としてやるほうが maxima の再起動をしなくてすむ分時間の節約になります。 (もっとも、これは maxima にメモリリークがないと仮定しての話で、どうしても気になる時にはやはり MuPAD を再起動してやる方が安心のような気もします。 )

3.4. バッチ処理を意図的に止める (error)(邪道?) maxima のバッチ処理を途中で意図的に止めたいときがあります。その場合は

error(0);

など、 error 行を書いておけば良いかもしれません。 (邪道?) asir でいうと end$ 行であるとか、 C(++) でいうと return(0); であるとか、それに当たるものがほしいところです。とりあえず土基は error 使ってみてます。

3.5. maxima の出力の形式を変える (display2d:) maxima はべき乗や行列をできるだけ見栄えよく出力しようとしますが、場合によってはこれがあだになります。 (カットアンドペーストなどで maxima の出力をあらためて入力したい時など。 ) そのような時には display2d という変数を false にするとよろしい。

display2d: false;

4. 計算

4.1. 文 (;) Maxima で何かを計算させるには、まず文の終りの記号 (;) を覚えることが必要です。

3+4;

と打ち込んで、 Enter を押すと、 3 + 4 が計算できます。これぐらいなら暗算のほうが速いので、満足できないという向きには、 100 の階乗などはいかがでしょうか？

 100!; (Enter を押す)
93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993\
22991560894146397615651828625369792082722375825118521091686400000000000000\
0000000000

これが一瞬で出てくるのだからなかなか素晴らしいでしょう。

実は、文の終り方にはもう一つ方法があります。 ”$” で終る方法です。これは、「計算はしなきゃいけないけれどもした結果を出力はしなくてよい」ときに使います。

そんなことがあり得るのでしょうか?その代表的な例が、次の節で述べる「値の設定」です。

4.2. 値を設定 (代入)(:) 変数 x に値を設定するには、 ”:” という記号を用いて、

x:10;

などとします。

4.3. maxima に黙って計算させる ($). 前節の例のように、

x:10;

と ”;” で終ると、 maxima は御丁寧にも ”10” という値を返してきますから、それがうっとうしいような場合には、

x:10$

とやればよいのです。 maxima は黙って x に 10 を代入してくれます。

4.4. 定義を解除する。 (kill). X に 10 という値を一旦代入してみたけど、やっぱり X はただの変数として使いたい、というときには、 kill というのを使います。

X:10;
kill (X);

4.5. さまざまな演算 (+,-,*,/, ＾ ,sqrt,exp,log,cos,sin,%pi,%e,%i). ここでは基本的なものについてずらずら列挙するにとどめましょう。

四則演算

x+y    x と y の和
x-y    x と y の差
x*y    x と y の積

x/y x を y で割った商 (一般には分数) 主な関数

x^y    x の y 乗
sqrt(x)  x の平方根
exp(x)   x の指数関数
log(x)    x の自然対数
cos(x) 余弦関数
sin(x) 正弦関数

定数

%pi  円周率

%e 自然対数の底 %i 虚数単位

4.6. 整数の演算 (divide,mod,quotient,gcd,factorial,binomial).

divide(x,y) x を y で割った商と余りのリスト
mod(x,y)         x を y で割った余り
quotient(x,y) x を y で割った商
inv_mod(x,y) x の mod y での逆元
gcd(a,b) a,b の最大公約数
n!  (factorial(n) と書いてもよい) n の階乗
binomial(n,r) 二項係数

4.7. クロネッカーのデルタ (kron delta).

kron_delta(i,j)

i=j のとき 1, そうでないとき 0 i,j としては配列もつかえる。

(%i27) kron_delta([1,2],[1,2]);
(%o27)                                 1
(%i28) kron_delta([1,2],[1,3]);
(%o28)                                 0

4.8. 整数に丸める (entier).

entier(x) x 以下の最大の整数

4.9. 約数 (divisors).

divisors(15) 15 以下の最大の整数
 {1, 3, 5, 15}

4.10. 乱整数 (random). 乱整数を発生するには random を使います。

random(n)     // 0 から n までの乱数 (整数) を発生

4.11. 複素数の演算 (realpart,imagpart,abs,carg). Maxima は複素数もかなり器用に扱えます。

%i 虚数単位

realpart(z)    z の実部
imagpart(z)    z の虚部
abs(z)   z の絶対値
carg(z)   z の偏角

Maxima はオイラーの公式なども知っているので、複素数の exp,cos,sin 等も気がねなしに使えます。

 realpart(exp(1+%i));
    %e cos(1)

複素数 z に対する対数も Maxima では計算できます。

 realpart(log(1+%i));
                                   log(2)
                                   ------
                                     2

定義はつぎの通りです。

log(z) = log(|z|) + ( z の偏角 ) × %i

但し、偏角 θ の範囲は −π < θ ≤ π です。

       float(log(-1));
                            3.141592653589793 %i
       float(log(-1-0.1*%i));
                  .004975165426583965 - 3.041924001098631 %i
       float(log(-1-0.0000000000000000001*%i));
                           - 3.141592653589793 %i

4.12. 式を簡単にする.

4.12.1. 式を展開する (expand). 前節までの説明だけで、多分簡単な式の計算などは自由にできると思いますが、一つだけ覚えておきたいのは、 expand という命令です。これは、与えられた式を展開して、簡単にします。例えば、 (x + y)^{2} は、そのままでは、

(x+y)^2;
                                       2
                                (x + y)

と、この形のままで処理しようとしますが、 expand を使うと、次のように展開してくれます。

expand((x+y)^2);
                                      2    2
                             2 x y + x  + y

expand が有効なのは文字式だけではありません。例えば、

x:(1+sqrt(5))/2;
y:(1-sqrt(5))/2;

としたあと、 xy を計算しようとして、 x*y を入力すると、

 x*y;
                   (1 - SQRT(5)) (SQRT(5) + 1)
                   ---------------------------
                               4

という具合になり、歯がゆい思いをすることになります。こういうときは、 expand を用いてやればいいのです。

 expand(x*y);
                                   -1

ああすっきり。

4.13. 代入・置換 (subst). 代入・置換は subst を使って行います。たとえば、

p:x^2+y^2+z^2;
                               2    2    2

                              x  + y  + z

subst(3,x,p);   /* p の x を 3 に置き換える (つまり x=3 を p に代入) */
                                2    2
                               y  + z  + 9

という具合です。

最近ネットで発見しましたが、もっとわかりやすい書き方があるようです。上の例で言えば

p:x^2+y^2+z^2;
                               2    2    2
                              x  + y  + z

subst([x=3],p);   /*  x=3 を p に代入 */
                                2    2
                               y  + z  + 9

/* のような書き方です。複数の代入を一度にこなすのも易しく、 */

subst([x=3,y=4],p);   /* x=3,y=4 を p に代入 */
                               2
                              z  + 25
/* など。 */

次の書き方も応用が効きやすいでしょう。

eq1:x=3;
eq2:y=4;
subst([eq1,eq2],x^2+y^2+z^2);

/* もしくは等式 eq1,eq2 を上のように定義したあと*/

eq:[eq1,eq2];
subst(eq,x^2+y^2+z^2);

さんくす、ネットの方々。

4.14. 近似計算 (float). Maxima では、\sqrt{2} などは、「二乗して 2 になるモノをあらわす記号」として扱われますから、そのおおよその値を知るにはとくべつな関数 (float) を用いる必要があります。

 float(sqrt(2));
                               1.414213562

三角関数の値などでも同様です。

 sin(1);
                                 sin(1)
 float(sin(1));
                              .8414709848

5. 有限リスト

5.1. 有限リストの簡単な書き方 (makelist). 例えば 1 から 10 までの有限列が欲しい時に、いちいち

[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]

と入力するのは面倒です。 Maxima では、これの代わりに、

makelist(i ,i ,1,10)

と書くことができます。もちろん

makelist(float(sin(i)),i,1,10); // sin(1) から sin(10) までの概数を計算
 [.8414709848078965, .9092974268256817, .1411200080598672,
- .7568024953079282, - .9589242746631385, - .2794154981989259,
.6569865987187891, .9893582466233818, .4121184852417566, - .5440211108893698]

のようなこともできます。

6. ループなどの制御

6.1. if 文.

if (条件文) then ... else ...

条件分には例えば次のようなものがあります。

x = y x と y が等しいか x # y x と y が異なっているか x > y x が y より大きいか x >= y x が y 以上であるか x < y x が y より小さいか

x <= y                 x が y 以下か

6.2. for 文. i を (初期値) から (終り値) まで１ずつ増やして繰り返すには

for i : (初期値) thru (終り値) do
...;

i を (初期値) から (終り値) まで増分 k で変えて繰り返すには

for i : (初期値) thru (終り値)  step k do ...;

(リスト) に含まれる i に対して繰り返すには

for i in (リスト) do ...;

6.3. block と return. for 文の do 以下には一つの命令しか書けないような気がします。ここで登場するのが block. (もちろん block はよそでも使えます。 )

block(式 1, 式 2, 式 3, ..., 最後の式);

という一文を書くことで、式 1, 式 2 を順に値を求める (実行させる) ことができます。返り値は最後の式の値です。

local な変数 (block 文の中だけで通用する変数) を使うこともできます。

block([変数 1, 変数 2,...], 式 1, 式 2, 式 3, ..., 最後の式);

という具合です。

block 文の途中で終了したい場合は、 return を使うといいようです。 block 文の返り値は return 文の中の値になります。

7. 多項式

7.1. 多項式の割り算 (divide), 商 (quotient), 余り (remainder). 多項式 f を g で (変数 VAR に関して) 割ったときの商と余りは divide によって求めることができます。

書式:

divide(f,g, VAR);

返り値:

[商, 余り]
例:
 divide(x^2+y^2-1,y-m*(x-1),y);
                          2       2      2      2
           [y + m x - m, (m  + 1) x  - 2 m  x + m  - 1]
  商だけ取り出したいなら divide(f,g)[1] もしくは quotient(f,g), あまりだけ取り出し
たいなら divide(f,g)[2] もしくは remainder(f,g) のようにすればよいです。

7.2. 多項式の因数分解 (factor). 多項式の因数分解には factor を使います。

 factor(x^5-1);
                                4    3    2
                       (x - 1) (x  + x  + x  + x + 1)

7.3. 法を定める (modulus), modulus(もしくは指定した整数) を法とした多項式 (polymod). 変数 modulus の値を素数に設定することで、 ℤ/modulusℤ での因数分解をすることができます。

 modulus:5;
                               5
 factor(x^5-x);
                       (x - 2) (x - 1) x (x + 1) (x + 2)

polymod() は与えた多項式を modulus を法とした係数の多項式に直します。 (ℤ 係数から ℤ/modulusℤ 係数へ。 )

modulus:5;
                               5
polymod(73*x^2+19*x+11);
                                    2
                               - 2 x  - x + 1

polymod(多項式 p, 法 m) と、法をその都度与えることも可能です。 (簡単に言えば p の各係数を m で割った余りを係数に持つ多項式です。 )

modulus を設定したくなくなった場合には、その値を false にします。

 modulus:false;
   false
 factor(x^5-x);
                                            2
                         (x - 1) x (x + 1) (x  + 1)

7.4. (注意):expt(a,b) とは. maxima に計算させると expt という表示が出てくる場合があります。

expt(a,b) とは a^{b} のことです。 (maxima の出力にだけ現れて、入力には使えません。 ) expt という関数を定義して使おうとすると混乱する (土基だけかもしれぬが...) ので注意

が必要かもしれません。

8. 微積分

8.1. 微分 (diff). f(x) を x で微分する際には、

diff(f(x),x);

とやればよろしい。

diff(sin(x),x);
                                 cos(x)

diff(sin(x),x,2);     // x で sin(x) を二階微分
                                 -sin(x)

8.2. テイラー展開 (taylor).

\taylor(exp(x),x,0,5));
                              2    3    4    5
                             x    x    x    x
     /T/              1 + x + -- + -- + -- + --- + . . .
                             2    6    24   120

/T/ はテイラー展開を明示するための符号らしく、これを取り去るには trunc を使えば良いらしい。 ... が効果の程は今のところよくわからない。 trunc を用いなくても式としては maxima でそのまま使える模様。

多変数も可能のもよう。

trunc(taylor(exp(x+y),[x,y],[0,0],5));
                   2            2    3        2      2      3
                  y  + 2 x y + x    y  + 3 x y  + 3 x  y + x
      1 + x + y + --------------- + -------------------------
                         2                      6
    4        3      2  2      3      4
   y  + 4 x y  + 6 x  y  + 4 x  y + x
 + -----------------------------------
                   24
    5        4       2  3       3  2      4      5
   y  + 5 x y  + 10 x  y  + 10 x  y  + 5 x  y + x
 + ----------------------------------------------- + . . .
                         120

9. 線型代数

9.1. 行列の入力 (matrix()). 行列を maxima に入力してやるには、 matrix を使います。

A:matrix([1,2],[3,4],[5,6]);
                                  [ 1  2 ]
                                  [      ]
                                  [ 3  4 ]
                                  [      ]
                                  [ 5  6 ]

単位行列の何倍かを与えるには diagmatrix を使えます... がおすすめしません。 ident と diag matrix のほうが可読性がマシのような気がします。

diagmatrix(3,x);
[ x  0  0 ]
[         ]
[ 0  x  0 ]
[         ]
[ 0  0  x ]

9.2. 単位行列 (ident). n 次の単位行列を与えるには ident(n) を用います。

ident(3);
[ 1  0  0 ]
[         ]
[ 0  1  0 ]
[         ]
[ 0  0  1 ]

9.3. 対角行列(diag matrix). 対角成分が a, b, c であるような対角行列はdiag_matrix(a,b,c) を使えばよろしい。

diag_matrix(3,4,5);
[ 3  0  0 ]
[         ]
[ 0  4  0 ]
[         ]
[ 0  0  5 ]

※ diag matrix と diagmatrix (アンダースコアがついているかどうか) は使用法が異なりますので注意が必要です。 (diagmatrix(n,x) は n 次のスカラー行列 (対角成分がすべて x の対角行列) の意味で使われます。 ) 個人的にはアンダースコアなしの diagmatrix は名前を変えたらいいのにぐらいに思っています。

9.4. 行列を与える (genmatrix). 行列を与えるのには genmatrix を用いるといいでしょう。いくつかのオプションがあります。その 1 一般の係数の行列を作る。

genmatrix(a,3,4);
[ a      a      a      a     ]
[  1, 1   1, 2   1, 3   1, 4 ]
[                            ]
[ a      a      a      a     ]
[  2, 1   2, 2   2, 3   2, 4 ]
[                            ]
[ a      a      a      a     ]
[  3, 1   3, 2   3, 3   3, 4 ]

もちろん、 a のところを別の変数名にすることもできます。その 2 行と列の式で書かれた行列を与える予め 2 変数関数 (下の例では h) を与えておいて、 genmatrix(h, サイズ) のようにすれば良い:

h[i,j]:=i+j;
                          h     := i + j
                           i, j
genmatrix(h,3,4);
                               [ 2  3  4  5 ]
                               [            ]
                               [ 3  4  5  6 ]
                               [            ]
                               [ 4  5  6  7 ]
genmatrix(h,3,4,0,0);  /* i,j の範囲はこのように変えられます。 */
                              [ 0  1  2  3  4 ]
                              [               ]
                              [ 1  2  3  4  5 ]
                              [               ]
                              [ 2  3  4  5  6 ]
                              [               ]
                              [ 3  4  5  6  7 ]
(%i8)

9.5. (行と列の式で書かれた行列を与える別法)(apply(’matrix,) を利用する). あまり見慣れない記号アポストロフ ’ を使うしちょっとむずかしいかもしれません。とりあえず例を載っけておきましょう。 makelist をうまく使うと良いと思います。

apply('matrix,makelist(makelist(f(i,j),i,1,3),j,2,5));
                         [ f(1, 2)  f(2, 2)  f(3, 2) ]
                         [                           ]
                         [ f(1, 3)  f(2, 3)  f(3, 3) ]
                         [                           ]
                         [ f(1, 4)  f(2, 4)  f(3, 4) ]
                         [                           ]
                         [ f(1, 5)  f(2, 5)  f(3, 5) ]

もちろん f のところを具体的な関数に変えれば色々できるところです。たとえば f として kron_delta(i,j) * a(i) を与えれば対角行列をこの方法で与えることもできます。

9.6. 行列の演算 (+,-, . ,invert ). 四則演算

A+B    A と B の和
A-B    A と B の差
A . B    A と B の積
invert(A)    A の逆行列

9.6.1. ***危険な*** ***曲がり角***. 行列の乗法、逆行列には注意が必要です。 (* や ^(-1) を用いると期待されるのと違う計算が行われます。 ) もう一度:

行列 A と B の 積は A . B です。行列 A の逆行列は invert(A) です。

さらに、行列のべき乗を計算するには、 ^^(タイプミスではなく、ハット記号を 2 つ並べて書く) を用いる必要があるので、ムチャグチャ注意が必要です。

A ^^2  A の 2 乗。
A ^^3  A の 3 乗

マニュアルより:

- "."は行列 (非可換) 乗法向けの DOT 演算子である。 "."がこの意味で使われる場合、両側に A . B の様に Space を入れておくべきである。こうすると小数点との区別が明瞭になる。

APROPOS(DOT); を実行すると

DOT 演算子に影響を与えるスイッチのリストが得られる。こんな説明では物足りないぐらい、とにかくご注意を。

危険な 曲がり角 終わり。

9.7. 行列の行ベクトル (row) 、列ベクトル (col). 行列 A の 3 行目は

row(A, 3)

で、 4 列目は

col(A, 4)

でそれぞれ得られます。

9.8. 正方行列の諸量 (length もしくは matrix size, determinant,mattrace).

A:matrix([1,2],[3,4],[5,6]);
                                  [ 1  2 ]
                                  [      ]
                                  [ 3  4 ]
                                  [      ]
                                  [ 5  6 ]
length(A);  /* 行数 */
3
length(A[1]); /* 列の数 */
2
matrix_size(A);
[3,2]

行列は行ベクトルのリストとして実現されているようなので、 length を上のようにうまくつかえばサイズが求められます。

その他に:

determinant(A) A の行列式
mattrace (A) A のトレース

determinant は標準の関数ですが、 mattrace は load(”nchrpl”) してからでないと使えません。

9.9. 余因子行列 (adjoint). A の余因子行列は adjoint(A) です。 :

A:matrix([1,2,3],[4,5,6],[7,8,1]);
                                 [ 1  2  3 ]
                                 [         ]
                                 [ 4  5  6 ]
                                 [         ]
                                 [ 7  8  1 ]
adjoint(A);
                             [ - 43   22   - 3 ]
                             [                 ]
                             [  38   - 20   6  ]
                             [                 ]
                             [ - 3    6    - 3 ]
A.adjoint(A);
                               [ 24  0   0  ]
                               [            ]
                               [ 0   24  0  ]
                               [            ]
                               [ 0   0   24 ]

9.10. ランク (rank), 対応する階段行列 (echelon). rank(A) で行列 A の階数がだせます。行列 A から行基本変形で得られる階段行列は echlon(A) で得ることができます。

9.11. ブロック区分けされた行列を使う (addcol,addrow). (mupad では stackmatrix とか concatmatrix とやるところのもの。 )

縦への連結 (row をつなげる) は addrow(A, B)、横への連結 (column をつなげる) は addcol(A, B) です。 (ここのところ、土基はすぐ間違えるし、この記述自信も間違えている可能性があります。 (お確かめの上、お使いください。 )

9.12. Jordan の標準形関係 (dispJordan など). とりあえず例だけ置いときます。詳細はググってください。。

load("diag");
U:dispJordan([[1,5]]);
                              [ 1  1  0  0  0 ]
                              [               ]
                              [ 0  1  1  0  0 ]
                              [               ]
                              [ 0  0  1  1  0 ]
                              [               ]
                              [ 0  0  0  1  1 ]
                              [               ]
                              [ 0  0  0  0  1 ]

16 MAXIMA TIPS (VERSION 0.0.18)

など。

10. グラフの描画

10.1. 1 変数関数のグラフ (plot2d). 関数のグラフを描くには plot2d を用います。

plot2d(cos(x),[x,-1,1]) ;
/* cos(x) のグラフを $-1\leq x\leq 1$ の範囲で描く。 */

たくさん描くこともできます。

plot2d([sin(x),cos(x)],[x,-1,1]);
/* sin(x) のグラフと cos(x) のグラフを重ねて描く。 */
 plot2d([parametric,cos(t),sin(2*t),[t,0,10],[nticks,1000]]);

10.2. 折れ線グラフを描く (plot2d([discrete,...])) 折れ線を描くには、次のような命令を使います。

 plot2d([discrete,list1]),numer;

但し list1 は点のリストです。 makelist などを使えば上手に使えるでしょう。 numer は、「数値的に扱うように」という maxima のスイッチで、グラフを描くときには必須と言っても良いでしょう。

 list1:makelist([i,length(divisors(i))/i],i,1,500);
 plot2d([discrete,list1]),numer;

あるいは、 plot2d する前に計算結果に float をつけてもよろしい

 list2:makelist([i,float(length(divisors(i)))/i],i,1,500);
 plot2d([discrete,list2]);

10.3. 折れ線グラフを描く (2)(openplot curves,xgraph curves). 折れ線を描くには、次のような命令も使えます。 (tcl/tk の wish を外部コマンドとして使用します。 )

openplot_curves([[x_1,y_1],[x_2,y_2],...,[x_n,y_n]]);
[[x_1,y_1],[x_2,y_2],...,[x_n,y_n]] は点のリストで、これを直接入力するのは実際に

は容易でないので、 makelist などを援用するとよいでしょう。

openplot_curves([makelist([i,float(length(divisors(i))/i)],i,1,500)]);

xgraph がインストールされている場合には xgraph curves という命令も使えます。

xgraph_curves([makelist([i,float(length(divisors(i))/i)],i,1,500)]);

10.4. 折れ線グラフや関数のグラフを重ねる. 例を示します。あとは類推してください。

list1:makelist([i,float(length(divisors(i))/i)],i,1,500);
plot2d([log(x)/x,[discrete,list1]],[x,1,500]);

11. GNU Free Documentation License

GNU Free Documentation License
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format whose markup has been designed to thwart or discourage
subsequent modification by readers is not Transparent.  A copy that is
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you as the publisher of these copies.  The front cover must present
the full title with all words of the title equally prominent and
visible.  You may add other material on the covers in addition.
Copying with changes limited to the covers, as long as they preserve
the title of the Document and satisfy these conditions, can be treated
as verbatim copying in other respects.
If the required texts for either cover are too voluminous to fit
legibly, you should put the first ones listed (as many as fit
reasonably) on the actual cover, and continue the rest onto adjacent

pages.
If you publish or distribute Opaque copies of the Document numbering
more than 100, you must either include a machine-readable Transparent
copy along with each Opaque copy, or state in or with each Opaque copy
a publicly-accessible computer-network location containing a complete
Transparent copy of the Document, free of added material, which the
general network-using public has access to download anonymously at no
charge using public-standard network protocols.  If you use the latter
option, you must take reasonably prudent steps, when you begin
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   substance and tone of each of the contributor acknowledgements
   and/or dedications given therein.
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   unaltered in their text and in their titles.  Section numbers
   or the equivalent are not considered part of the section titles.
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   may not be included in the Modified Version.
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These titles must be distinct from any other section titles.
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nothing but endorsements of your Modified Version by various
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been approved by an organization as the authoritative definition of a
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adding at the end of it, in parentheses, the name of the original
author or publisher of that section if known, or else a unique number.
Make the same adjustment to the section titles in the list of
Invariant Sections in the license notice of the combined work.
In the combination, you must combine any sections entitled "History"
in the various original documents, forming one section entitled
"History"; likewise combine any sections entitled "Acknowledgements",
and any sections entitled "Dedications".  You must delete all sections
entitled "Endorsements."

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Otherwise they must appear on covers around the whole aggregate.

8. TRANSLATION
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distribute translations of the Document under the terms of section 4.
Replacing Invariant Sections with translations requires special
permission from their copyright holders, but you may include
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original versions of these Invariant Sections.  You may include a
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9. TERMINATION
You may not copy, modify, sublicense, or distribute the Document except
as expressly provided for under this License.  Any other attempt to
copy, modify, sublicense or distribute the Document is void, and will
automatically terminate your rights under this License.  However,
parties who have received copies, or rights, from you under this
License will not have their licenses terminated so long as such
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10. FUTURE REVISIONS OF THIS LICENSE

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Each version of the License is given a distinguishing version number.
If the Document specifies that a particular numbered version of this
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      with the Invariant Sections being LIST THEIR TITLES, with the
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      A copy of the license is included in the section entitled "GNU
      Free Documentation License".
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instead of saying which ones are invariant.  If you have no
Front-Cover Texts, write "no Front-Cover Texts" instead of
"Front-Cover Texts being LIST"; likewise for Back-Cover Texts.
If your document contains nontrivial examples of program code, we
recommend releasing these examples in parallel under your choice of
free software license, such as the GNU General Public License,
to permit their use in free software.

12. Changes

2014/05/11(version 0.0.5) batch/load の説明が間違っていました。とりあえず batch のみ訂正。 2006/04/27(version 0.0.4) 大文字、小文字の取扱についてを手直し。 (バージョン 5.9.3 以降に対応)

2006/01/19(version 0.0.3) いろいろ追加。

MAXIMA TIPS (VERSION 0.0.18) 25

2005/12/15(version 0.0.2) divide を追加。 2005/12/2(version 0.0.1) 書きはじめる。