y = x^{x} のグラフの話

Contents

Chapter 1. まえがき 5 1. beta 版について 5 2. 登場人物 5 3. どこから話が始まったか? 5

Chapter 2. x^{x} の問題点とは？ 7 1. 最初のグラフ 7 2. 「0 の 0 乗」の値は何? 8 3. x < 0 のときは? 10 4. i の i 乗? 12 5. お茶会終る。 13

Chapter 3. 解説編 15 1. 指数関数を簡単な場合からコツコツと定義していく 15 2. 指数関数の巾級数による定義 18 3. e の複素数 z 乗 19 4. 複素数について 19 5. 指数関数と三角関数 21 6. 対数関数の定義 23 7. x^{x} の定義再考 25 8. x^{x} のグラフ (x が 0 でない実数の範囲を動く場合 26 9. 復習問題 27 10. 対数関数の多価性について 28

Chapter 4. Vista:リーマン面 31 1. プロローグ:用紙からはみ出して書くこと 31 2. 画用紙びりびり 31 3. ちょっと四次元 32 4. 指数関数のグラフ 33 5. ノリとハサミの時代へ 34

Chapter 5. 補遺 37 1. 微分とは 37 2. 自然対数の底 e 38 Chapter 6. あと書き 41

1. ウルトラマンとゴジラ 41 2. 最後の最後に 42

CHAPTER 1 まえがき

1. beta 版について

書きたいことは大体書いたため、 beta 版にしましたが、そのわりにはまだ一部分図がありません。また、文体がバラバラです。スミマセン。

2. 登場人物

わたし:お菓子につられて遊びに来た、悪のオジサン。数学の話をしていて難しい話が出て来そうになるとごまかしてなんとかその場だけをしのごうと考えたり、ギャグで済まそうとしてしまう。

上野先生: わたしの師匠。数学は凄く良くできて (当り前か?) カッコいい。正義の人なので、数学の話の時に面白そうな話題が出て来そうになると、それを正面に引き出そうとする。なお、わたしは上野先生に破門されていると言う説もあるので、正確には私の師匠ではないかも知れない。 (笑)

その他先生方: とにかく私よりも偉いのは確か。 (私は悪の人なので、ちゃんと書くことを省く)

生徒の方々：将来有望な人々。目がキラキラ輝いている。なかなか鋭い質問をして、先生方を困らせたりする。

なお、以下敬語はあんまり使わないよ。だって私は悪の人なんだもん。 (笑)

3. どこから話が始まったか?

ある数学公開講座で、お茶の時間と言うのがあったんだよね。私は (クイシンボウだから) おかしだけを食べようとこそっと中に入っていたんだ。来ている生徒のみんなは目が輝いていて、優秀そうだったね。そういう人を見ていると、こっちまで楽しくなるもんだ。そりゃあもう、おしゃべり全開でいきましたよ。

あったかいストーブの前で機嫌良くお菓子を食べながら話をしていたら、 y = x^{x} のグラフの話になったんだ。

CHAPTER 2 x^{x} の問題点とは？

1. 最初のグラフ

わたしは (なんどもいうように) 悪の人なんで、悪のグラフの書き方 ○いい加減に書け ○何か間違っていると言われたらその都度考えて訂正せよ ( 「わざと間違ったんだよ」という素振りを忘れないように。 )

というのを実践して、近くにあった黒板にエイヤッと書いて見せたね。

得意満面でしたよ。生徒の感心する顔を見て、してやったり、と思っていたんだな。この節で、私がどんな風に書いたかということからまず解説しよう。

1.1. x > 1 なら簡単. x が大きくなれば、 x^{x} も大きくなるもんね。「ビヤッ」と、大いば

りで書ける (えっへん。 )

1.1.1. x^{x} の桁数は? ちょっと寄り道して、 x が大きいとき x^{x} がどれほど大きくなるか、 x^{x} を十進数であらわしたときの桁数を考えてみよう。

x = 10 なら x^{x} = 10^{10}は 10 桁の数字
x = 100 なら x^{x} = 100^{100} = 10^{200}は 200 桁の数字
x = 1000 なら x^{x} = 1000^{1000} = 10^{3000}は 3000 桁の数字
x = 10000 なら x^{x} = 10000^{10000} = 10^{40000}は 40000 桁の数字

…

x^{x} の桁数と x との間にどのような対応があるかわかるだろうか。

1.2. 0 < x < 1 のときは? 黒板の端にちょこっと

x^{x} = e^{x log x}

と落書きして、こんな風になる、と書いたんだ。

8 2. x^{x} の問題点とは？

黒板の端の落書は、 log とか知らない人がいるかも知れないし、こう書き直さないとグラフ一つ書けないのかと思われるのも嫌だから、コソッと書くのがポイントだ。 1.3. なんでこんな風な凹凸になるの? まず、 e^{?} は ? について単調増加だから、増減を調べるには x log x

で調べればいいよね。それでとりあえず x log x を微分したのよね。

(x log x)′ = x′ log x + x(log x)′ = log x + 1(= log(xe))

だから、 x log x や x^{x} は • 0 < x < 1/e では単調減少

• x > 1/e では単調増加

だということがわかったんだよ。 x^{x} の x > 0 における最小値が

(1/e)^{1/e}(= e^{−1/e})

ということもついでにわかったね。満足満足。

え? log ってなに? 微分が分からない? 悪のオジサンにそこまで求めてはいけないよ (笑) 高校生向けの教科書や参考書を読んでね。 (本当はさっきの節でこそっとやらずにきちんと説明すればいいのだけれどね。 )

1.4. x が 0 に近付いた極限では?

x が 0 に近付いた時、 x^{x} はどうなるのか? これも、 x log x がどうなるかわかればいいよね。こういうことを説明するのは得意中の得意だ。 (微分なんかの説明は省いたのにね。 ) 黒板にこんなことを書いたよ。

x = 1/10 なら x log x = (1/10) log(1/10)  = −(1/10) log 10
x = 1/100 なら x log x = (1/100) log(1/100)  = −(2/100) log 10
x = 1/1000 なら x log x = (1/1000) log(1/1000) = −(3/1000) log 10
x = 1/10000 なら x log x = (1/10000) log(1/10000) = −(4/10000) log 10

…

この計算をよくみてみよう。 log 10 のところは同じだからはぶいて、分数の部分に着目する。分子は 1 づつしか増えないのに、分母は 1 ケタづつ桁が上がっていくよね。当然 x log x はどんどん 0 に近付いていく。だから

lim_{x→0} x log x = 0

ということが納得できるだろう。こういうのを手っ取り早く計算する方法はいろいろあるけど、こういう感覚もとても大事なんだ。 (大得意)

2. 「0 の 0 乗」の値は何?

さて、これでめでたしめでたし、と思っていたら、 x = 0 の時はどうなるの?という声が飛んだんだ。ん? 0^{0}? これってどうなるかな? 良くわからないものは筋が通るように取り決めすればいい、というのが数学だから、 0^{0} もちゃんと筋が通るように決めればいい。前の節で、 x^{x} の x が 0 に近付いた時の極限は 1 であることがわかったから、そのように決めればよさそうだけど、 0^{0} は 0 のような気もする。

いろんな説がでて来たね。

0^{0} = \begin{cases}0 & (b がどんな値でも 0^{b} = 0 だから) \\ 1 & (a がどんな値でも a^{0} = 1 だから) \\ 1/2 & (まあそう言わずみんな仲良く (笑) ) \end{cases}

もちろん最後の答え (1/2) は私が付け加えたんだ。気が効いてるでしょ?

2.1. x^{y} の極限いろいろ.

みんな大体気づいていると思うけど、式 2 で「どんな値でも」というのにちょっと嘘があるんだよね。実は、 0^{0} は 0/0 と似た意味で「不定」と見倣すのが妥当だ。つまり、どっから見ても筋が通るように一つの値に決めるのが不可能だ、ということなんだ。 0^{0} は、 x^{y} の x → 0, y → 0 の時の極限と決められればいいんだけれど、 (x, y) を (0, 0) に近付ける方法はいろいろある。

• x を 0 に近付けてから、その後で y を 0 に近付ける。

• y を 0 に近付けてから、その後で x を 0 に近付ける。

• x = y という関係を保ちながら、 x, y を同時に 0 に近付ける。

• x = 2y という関係を保ちながら、 x, y を同時に 0 に近付ける。

• x = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{y}} という関係を保ちながら、 x, y を同時に 0 に近付ける。 (いまは、とりあえず x, y は正の値をとりつつ 0 に近付くことにしておきましょう)

等々。なんだか 0 の地点に x, y 二人の人が待ち合わせにいくみたいだ。片方が遅れて来たり、一緒にいったり、片方がダッシュしてもう片方の倍の速度で 0 に近付いたり (きっとデートに遅刻しそうなんだな...)

最後の例はちょっと難しいけれど、 x が y よりもむちゃくちゃに速く 0 に近付く例だ。

前小節で既に言ったように、上のそれぞれの近付け方によって、 x^{y} がどの値に近付いていくかが変わってしまうんだ。最後の２例については説明していなかったね。

lim_{y→0}(2y)^{y} = 1

(なぜだか分かるかな?) だから多少ダッシュしたってこの場合の極限の値は変わらない。でも、

lim_{y→0} ((\frac{1}{2})^{\frac{1}{y}} )^{y} = \frac{1}{2}

だから、 0^{0} が 1/2 という答えも考えられる。 (と私は自分を正当化しておるんだな、これが。 )

これを読んでいる皆さんもぜひ x^{y} をいろんな値に近付けてみて欲しい。簡単で気の効いているやり方が分かったら私 (docky@math.kochiu.ac.jp) 宛に送りつけると私はとっても喜ぶだろう。

とにかく、 x^{y} は (x, y) → (0, 0) の近付き方によって 0 から 1 までのどんな実数値にもなり得る。 (このことは f(x, y) = x^{y} のグラフを見てみるともっと良くわかるね。

上図で、 x^{y} のグラフは、 x,y が 0 に近付くと z 軸にヘバリついてくるのが見てとれるかな？ )

だから 0^{0} は不定だ、と呼ばれるんだね。

2.2. 0/0 の値は？. 0/0、つまり x/y の (x, y) → (0, 0) の極限が不定なことはもっと簡単に分かるよね。これも是非やってくださいね。 (書くのがめんどくさいところはこうやってごまかすんだな...)

グラフは、こんな感じになる。

3. x < 0 のときは?

これでいよいよメデタシメデタシ、と思っていたら、上野先生から x < 0 の時はどうなるのかな? という声が飛んだんだ。私は一瞬「お手上げだああ」と思ったよ。

「お菓子を食べに来ただけなのに...(以下三行略)」と途方にくれてしまったね。なにしろ負の数の時なんか x^{x} が考えられるかどうかすら分からなかったんだもの。

でもみんなは私よりよっぽど賢かった。

3.1. x が負の整数なら簡単.

x が −1 だったら?

(−1)^{−1} = −1

x が −2 だったら?

(−2)^{−2} = ((−2)^{2})^{−1} = 1/4

とやっていって、

(−n)^{−n} = (−1/n)^{n} = \begin{cases}1/n^{n} & (n : 負の偶数のとき) \\ −1/n^{n} & (n : 負の奇数のとき) \end{cases}

とちゃんと定義されることに気づいたんだ。ん? x が負の数でもなんとかなるじゃん。ちょっとやる気がでてきたね。

3.2. x = −1/2 なら?

x が負の整数の時には何とかなったけれど、ぼくらは負の数がそれだけじゃないことを知っている。とりあえず x = −1/2 なんていうのもあるけど、

(−1/2)^{−1/2}

なんて、計算できるの?

3. x < 0 のときは? 11

みんなは、ここでも私よりも賢かったね。どうにかこうにか計算法を編み出して来たんだ。いろいろ紆余曲折があったんだけれど、

(−1/2)^{−1/2} = ((−1/2)^{−1})^{1/2} = (−2)^{1/2} = \sqrt{2}i

という風に計算を進められることが分かった。虚数単位 i が出て来るのは不本意だけれども、何か計算できたじゃん。でもこれってグラフに書けるの?

もっと素晴らしいアイディアもあったんだ。 (−2)^{1/2} までいたる道筋は同じなんだけど、 1/2 = 2/4 ということを使って、

(−1/2)^{−1/2} = (−2)^{1/2} = (−2)^{2/4} = ((−2)^{2})^{1/4} = 4^{1/4} = \sqrt{2} (★)

おお、これなら i がつかない。これには私も他の先生方も感心してしまったね。

でも今から思い起こしてみるとここでは注意が必要だったんだ。 (後述) 上野先生がここで口をはさんだのは、きっとそれが言いたかったんだね。

3.3. 平方根は二つある.

だけど、と上野先生が言う。

「 (−2)^{1/2} は《二乗して −2 になる数》と言う意味だから、\sqrt{2}i だけじゃなくて、 −\sqrt{2}i もあるよ。」

同じ理由で、 −\sqrt{2} なんかも (−1/2)^{−1/2} の候補になる。計算する人によって、答えが違うなんて。これもやっぱり不定なの?

その場は、ちょっと、「x^{x} って見掛けによらず手ごわい。」と言う雰囲気になって来たね。

3.4. ちょっと注意.

みんな同時進行的に同じ問題を考えていたので、他にもいろんな意見や問題が出て来る。それらを言うまえに、 (★) についてちょっとだけ注意しておこう。 (本当はこれはお茶会のあとで気づいたことで、今注意してしまうとちょっとその場の雰囲気から離れてしまうおそれがあるんだけど、だからといって今注意しておかないと、今読んでいるあなたまで混乱してしまうからね。 )

(★) はいいアイディアなんだけど、次の間違いと同じ問題点を含んでいる。

一般に、\sqrt{a^{2}} = a ゆえに、a = −2 として、\sqrt{(−2)^{2}} = −2.

(ブー。本当は\sqrt{(−2)^{2}} = \sqrt{4} = 2 だ。 ) どうしてこうなってしまうか、というのを自分で考えるのは、とても良いことだから、それを強くお勧めするんだけれど、一つだけヒントをだしておこう。それは、正の数 a に対して、\sqrt{a} とは、 2 乗して a になるような正の数のことだけど、二乗して a になる数は実際には正、負の両方があって、正のほうを選ぶのは (書くのに便利、とかいう理由はあるけれど) 必ずしも自然ではない。ということなんだ。

(★) に戻ってみると、 (−2)^{1/2} (これは《二乗して −2 になる数》のことだね) は確かに《四乗して、 4 になる数》ではあるのだけれども、四乗して −2 になる数は実は 4 つ (±\sqrt{2}, ±\sqrt{2}i) あって、そのうち二つは二乗しても −2 にはならないんだよね。

3.5. 無理数の x に対する x^{x} は大丈夫? さて、お茶会での話に戻ろう。 x^{x} が恐くなってきたので、そもそも、 x^{x} の定義って何だっけ? という話になったんだ。要は巾乗の定義ってやつだよね。やっぱり整数乗なら自信があるけど、そのほかは? a が正の数で、 b = n/m (n, m は正の整数) と書けている場合なら、

a^{b} = (a^{1/m})^{n}

とやって、 a の《m 乗根の n 乗》とやればよさそうだ。教科書にもそんなことが書いてあったような気がするし。 (ここでも、「筋の通るように定義する」という原則が生きているよね。 ) でも、

(\sqrt{2})^{\sqrt{2}} = 2^{\sqrt{2}/2}

なんかは、どう考えればいいんだろう。

3.6. x = −1/4 のときは?

x = −1/4 のときも問題だといいだした人もいた。

(−1/4)^{−1/4} = ((−1/4)^{−1})^{1/4} = (−4)^{1/4} = \sqrt{2}\sqrt{i}

i だけでも大変だと思っていたら、今度はその平方根がでてきちゃった。 i を導入した時のように、ひょっとしたらまた新しい数を導入しなきゃいけないの？

うーん何か収集がつかなくなっているなあ。と思っていると、上野先生がもっと収集のつかなくなることを言い出したんだ。

4. i の i 乗?

いろんな問題がでてきて皆がウンウンうなっていた時にはまだ黒板のはじっこのほうに\sqrt{2}i と言う文字が残っていたんだね。それを目ざとく見付けた上野先生が、

「答えに複素数を許すんなら、 x のほうにも複素数を許さないと不公平だよね。」

と言い出したんだ。

「例えば i の i 乗 (i^{i}) はどうなるんだろう? 」

5. お茶会終る。

こうして問題が増えたところでお茶会は終った。いろんな問題を抱えながら大学で講義を聞いたり、本を読んだりすると、思わぬところでハタと問題が解決するという楽しみができて、面白さが倍増するので、これはとても良いことだと思う。

でもここで本稿が終ったらなんとなく味けが無いので次の節から解説編に入ることにしよう。なんどもいうけど解説編は読まずに自分で考えるほうが、おもしろいし、勉強になるかもしれないけどね。

CHAPTER 3 解説編

解説編では、前編で挙げた問題についてちょっとづつ答えを出すことにする。お茶会は終ってしまったので、口調は変わるが、御容赦頂きたい。

1. 指数関数を簡単な場合からコツコツと定義していく

この節と次の節では、指数関数、つまり正の数の巾乗の定義について述べよう。指数関数の定義にはいろいろあって、もちろんそのひとつひとつが面白いのだけれども、ここでは二つの方法を挙げてみることにする。なお、指数の底には何をとっても議論を展開できるのだけれども、微分積分学での扱いが便利になるように、自然対数の底 e を採るのが普通だ。ここでもそのようにする。

1.1. 正の数の有理数乗.

e の整数乗はかけ算を繰り返すことにより簡単に定義できる。 e の有理数乗については、 3.4 節で述べたような問題があるけれども、基本的には 3.5 節のように定義すれば良い。つまり、

e^{n/m} = ( \sqrt[m]{e})^{n} ( n は整数, m は正の整数

ただし、\sqrt[m]{e} は m 乗して e になるような\underline{正の}数である。有理数 q を n/m という風に書く方法は (1/2 = 2/4 のように) 無限にあって、その\underline{書き方によらずに}e^{q} が定義されることを示す必要がある。 (3.4 節で見たように、一見当り前に見えることでも一度確かめておくことを怠ると、間違いをおかす可能性があるから、あなどれない。 ) ここでは、「一般に、正の数 a に対して、 m 乗して a になる\underline{正の}数はただ一つしか無い」ということが、キーポイントなのだ。詳細は皆さんにお任せしよう。 (中間値の定理なんかが、重宝するかも知れない。 )

上の定義は指数法則が成り立つようにさだめられたもので、指数法則を満たすように e の有理数乗を定義し、しかも e^{q} が\underline{正の}値をとるように要請しようとすると、その定義は必然的にこうなる。しかし、 e の実数乗を定義しようとするさいには、別の注意が必要になる。それを次の小節で述べることにしよう。

1.2. 正の数の無理数乗その 1(チャチャ編).

実は、「指数法則」をみたしつつ、「巾指数」について連続ではないような「疑似指数」を定義することも可能だ。

すこし良く知っている人のためにこの小節でそのことについて付け加えておこう。この小節の内容は以下では使われないので、特に興味のない人は飛ばしてください。

上に述べたような「疑似指数」は例えば以下の手順で作ることができる。

1. ℚ-ベクトル空間としての ℝ の基底 {r_{λ}}_{λ∈Λ} をとって、

ℝ = ⊕_{λ∈Λ}ℚr_{λ}

と直和分解する。

2. 上の直和分解の直和因子のぶんだけの正の実数の族 {c_{λ}} を選んでおく。

3. 実数 r をこの直和分解によって r = ∑_{i} q_{i}r_{i} と書く。

4.

a^{(r)} = (a の疑似 r 乗) = ∏ c_{i}a^{q_{i}}

と定義する。 a^{(r)} は次のような「指数法則」を満足することがわかる。

a^{(r+s)} = a^{(r)}a^{(s)}, (ab)^{(r)} = a^{(r)}b^{(r)} (∀a, b ∈ ℝ_{>0}, ∀r, s ∈ ℝ)

ℝ の直和分解と {c_{λ}}_{λ} の選びかたをもう少しだけ工夫すれば、

a^{(q)} = a^{q}(∀q ∈ ℚ)

も成り立つようにできる。

1.3. 正の数の無理数乗 (正調編).

マニアックには前節のような話があるにしても、普通は指数関数と言えば連続になるように定義するのが歴史的にも正統だし、考えとして自然でもあるだろう。 (最近流行りのフラクタル理論などでは、そうともいえないかもしれないが、悪の私としてはそこら辺は口をつぐんでおくことにする。 )

つまり、「e^{b} は、 b に近い有理数 q をとって、 e^{q} を計算したものの、 q → b のときの極限」、記号で書けば

e^{b} = lim_{\begin{matrix}q→b \\ q は有理数 \end{matrix}}e^{q}

と言う風に定義するのだ。 0/0 や 0^{0} の例を思い起こせば、こういう風に極限で値を定義するときには、注意が必要なことがわかる。つまり、 (★) 「q が十分 b に近づくとき、その近付き方に関係なく e^{q} はある一定の値に近付く。」

ということを確かめなければならない。これも詳細は皆さんにお任せしよう。 (次の節も参照して欲しい。 )

(★) のような議論を効率良くやるための道具が、よく《ϵ − δ 論法》とか呼ばれるもので、大学初年級の学生にとって難関の一つになっている。でも、これをやっておけば前節のような混乱を避けることができる、と思えば、便利なものだと言えるのではないだろうか。

1.4. 指数や対数の値を比較するには.

筆者も受験のころには変な値も覚えさせられたもので、

log_{10}(2) = 0.3010...

なんていうのも覚えた。でも、もし、例えば、《log_{10}(2) の値を小数第１位まで計算せよ》という問題が試験に出たとしたら、「覚えているから、これでいーのだ。」などという理屈は通用しそうにない。

0.3 = 3/10 < log_{10}(2) < 1/3 = 0.3333 …

ということを示せば、とりあえず小数第一位までは求まったことになる。では 3/10 < log_{10}(2) を示すには？ここまで来ればもうお分かりだろう。 log_{10}(x) は x について単調増加だから、

10^{3/10} < 2

を示せば良い。さらにこれを示すには、両辺十乗して、

10^{3} < 2^{10}

に帰着すればいい。ということで、解答は次のようになる。

(解答)

10^{3} = 1000 < 1024 = 2^{10}, 2^{3} = 8 < 10

だから、辺々の log_{10} をとって、

3 < 10 log(2), 3 log(2) < 1

ゆえに、 3/10 < log(2) < 1/3....

結局、指数や対数の定義に戻れば、それなりに計算できるということ。本節に出て来る話の、特に大きさの評価に関する部分もこのようにして理解することができる。

1.5. この節のまとめ.

正の数の巾乗 e^{x} を、 x が自然数の場合から順に有理数の場合実数の場合という風に拡張していき、定義することができる。これは高校までの数学でも理解しやすい。

2. 指数関数の巾級数による定義

2.1. どんな級数を使うか.

指数関数を定義するもう一つの方法として、ここでは巾級数を使うことを考えよう。関数を巾級数を使って表す方法は、他にもいろいろな場合に有効である。まず始めに答えからいってしまうと、

e^{x} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}x^{n} (x は実数)

となる。この式の導出の仕方は他の本などを参照して頂くことにして、ここでは二つのことに注意したい。

2.2. この級数の収束の速さ.

一つはこの巾級数の収束の速さである。式 2.1 の右辺の項

\frac{x^{n}}{n!}

を見てみると、 n が一つ増えるごとに、分子が x 倍 (固定倍率) しか増えないのにたいし、分母の方は倍率がどんどん上がっていく。

この考えをもっと具体的にするために、 x = 100 としてみよう。分子は二桁づつ増えていくし、分母の方は始めの方は 1, 2, 6, 12, … とたよりない感じである。しかし、たとえばこの巾級数の第千項以降を見ると、分母は絶えず前の項の分母の千倍以上になっており、 n が大きくなると分子などあっと言う間に分母より小さくなってしまう。最初のたよりなさなどふきとんでしまうのである。

(ここでいくら文学的表現を尽くしても、それを読んだだけでは残念ながら中途半端な理解を与えるに過ぎないのかも知れない。収束の感覚は、自分で少しいじって見るのが一番良いと思われる。 ϵ − δ 論法とは、その「感覚」を、正しく表現する一方法であるともいえる。 )

2.3. このような級数同士の積について.

二番目に注意したいことは、上の巾級数が乗法について良い性質を持つということである。実際、分配法則を何回も使うと、

∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}x^{n} ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}y^{n} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}(x + y)^{n}

がわかる。

(上の等式は無限和の間の関係なので、実際にはもっと注意深く議論しなければならない。とはいえ前述のようにこれらの巾級数は収束が著しく速いので扱いはそれほど難しくない。 )

この等式 2.3 こそ、この巾級数が正の数の巾乗の性質

e^{x}e^{y} = e^{x+y}

と同じ性質を持つことの証明であり、この性質と連続性の議論、それに、

e = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}

という e の性質を併用することによって、ここに巾級数として定義したものが前節の e^{x} と一致することを示すことができる。

2.4. この節のまとめ.

巾級数をもちいて e^{x} を定義することもできる。この方法では巾級数の取り扱いに関する技術が必要になるが、半面、前節のように段階を踏む必要がないのですっきりした理論展開をすることができる。 (さらに、この方法は、次節で見るようなさらなる拡張を容易に生むだけの力を備えている。 )

3. e の複素数 z 乗

前節の「巾級数表示」を使うと、複素数 z に対して、 e^{z} を定義することができる。実際、

e^{z} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{z^{n}}{n!}

の右辺を眺めてみると、これを計算するには足し算、引き算、かけ算、および極限操作ができれば良いことがわかる。このうち、複素数を習ったことのある人にとって明解でないのは極限操作 (無限和の部分の収束性) だけだろう。

複素数の極限操作は、実は「複素数の絶対値」を物差しに使うことにより実数と同様な取り扱いをすることができる。詳しくは複素解析学の教科書の最初のほうを開いてみて頂きたい。

4. 複素数について

前節の最後で複素数がでて来た。本編でも少し出て来たが、ここで、少しまとめておくことにしよう。

4.1. ガウス平面. f(x) = x^{x} という関数は、 x < 0 においては複素数の値をとりそうだ、ということが本編で分かった。だからそのグラフを描くには、複素数を図示する方法を知らなければならない。この小節ではそれについて解説しよう。

複素数 a + bi に対して、 (a, b) という平面上の点を対応させることで、複素数を図示することができる。そのように考えて、複素数を表現する平面をガウス平面とか、複素平面とかよぶ。実はガウス平面の便利な点は、単に複素数の一つ一つを平面上に図示できることだけではなくて、次のように二つの複素数の足し算やかけ算を幾何学的に意味づけられるところにある。 • 足し算:平行四辺形の法則

• かけ算:原点からの距離はかけ算。偏角は足し算。ここで、複素数 z の「偏角」とは、ベクトルとしてみた z と、 x 軸とのなす角度 (を弧度法であらわしたもの) だ。これを以下では arg(z) とかく。ついでに言うと、 z のベクトルとしての大きさは、 |z| と書き、 z の絶対値、と呼ばれる。上に挙げたかけ算の標語をもう一度これらの記号を使って書くと、

|zw| = |z||w|, arg(zw) = arg(z) + arg(w)

ということになる。

4.2. i の平方根. i の平方根というのが前節で出て来たけが、これは本当に新しい数なのだろうか？「新しい数」を導入するのももちろん面白い考え方だけれども、まず今までの複素数で本当に i の平方根がないのかどうか確かめるのもとても大事だ。試しに

(a + bi)^{2} = i (a, b ∈ ℝ)

というのを解いてみるとしよう。

a^{2} − b^{2} = 0, 2ab = 1

というのが出て来て、あら不思議、

a + bi = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i または a + bi = −\frac{\sqrt{2}}{2} − \frac{\sqrt{2}}{2}

と、ちゃんと解けてしまった。だから、実は無理に新しい数を導入する必要はない。

( 「新しい数を導入する基準は何なんだ、」あるいは、「本当に i なんて導入して良かったんだろうか？」という疑問が出そうだ。既存の「数」に新しい「数」を付け加えてどうなるかを調べることは、例えば代数学でよく取り扱われることで、「環や体の拡大の理論」と呼ばれるものがそれにあたる。拡大 (新しい数を付け加えること) ができたとして、それがとても良い性質を満たすかどうかは、解析学などでも重要なテーマで、たとえば複素数にたいしては「複素解析学」と呼ばれる美しい理論があって、複素数導入の動機付けの一つを与えている。 )

じつは、もう一つ別のやり方で i の平方根を出すこともできる。

z^{4} + 1 = (z^{2} + \sqrt{2}z + 1)(z^{2} − \sqrt{2}z + 1)

と強引に「因数分解」して二次方程式の解の公式を用いる方法だ。この方法だと《4 乗して −1 になる数》が出て来るけれども、そのうち二つは二乗して −i になるので、少し注意が必要だ。

もう一つ計算してみよう。 3 乗して 1 になる複素数はどれぐらいあるかご存知だろうか？

z^{3} − 1 = (z − 1)(z^{2} + z + 1)

というのを使うと、

z = 1 または z = \frac{−1}{2} ± \frac{\sqrt{3}}{2}i

という答が出て来る。

これらの、《何とか乗して 1 になる数》のことをよく「一の巾根」とよぶ。 (そのまんまやんけ!)

一の巾根をガウス平面にプロットしてみると、実に面白いことに気づく。

• これらの点は全て単位円周上に乗っている。

• これらの点は円周上の等分点にある。

• じつはそれらは cos(2πir) + i sin(2πir) (r は有理数) の形をしている。 (ネタバレ (笑))

これは「複素数の積が幾何学的にはどのように解釈できるか」ということから説明できる。面白いから是非試してみてほしい。

上の最後の主張は、いままで関係ないと思っていた三角関数が、実は巾乗を考える上で大事なことを意味している。次の節でその点に少し触れよう。

5. 指数関数と三角関数

5.1. 三角関数の巾級数表示. 前章では指数関数が巾級数表示を持つことについて述べたが、じつは三角関数も同様な表示を持つことが知られている。答えだけここに記しておくことにする。

cos(z) = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} \frac{1}{(2k)!}z^{2k}

sin(z) = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} \frac{1}{(2k − 1)!}z^{2k−1}

これらの巾級数も、指数関数の場合とように、収束が速く、取り扱いやすい。

指数関数、三角関数をはじめとするいろいろな関数が巾級数で書けるのは驚くべきことのような気がする。このことを発見した人々はワクワクしただろうことは、想像に難くない。

関数を巾級数で書く利点の一つは、前章ですでに見たように、それを容易に複素数の関数と見倣せるという点にある。三角関数も、上に挙げた巾級数表示により、複素数の関数と見倣せるのである。これは、三角関数の幾何学的な定義のみを眺めていたのでは、気がつきにくい点だろう。

円弧の長さと言うような幾何学的な関数を複素数に拡張して、意味があるのだろうか、と思われる方々もいられると思うが、実はそれが大ありなのだ。じゃあ「円」じゃなくて「楕円」ならどうか？それはこの項の主題から少し外れるが、実に面白い話題である。興味のある人は高木貞二著「近世数学史談」および「雑談」などをさんしょうされるとよい。

5.2. 三角関数と指数関数の関係を巾級数表示を通じて調べる. 巾級数による展開は関数を識別するための「名前」としても優れている。実際、個々の関数に cos, sin, exp 等々の名前をつけても、その関数の性質はちっとも明らかにならないのにたいし、関数を巾級数で与えてみると、その巾級数の個々の係数は関数のもつ性質をかなり雄弁に語ってくれることが多い。

その典型的なものが、この小節で述べる指数関数と対数関数の関係である。この関係式は、もちろんいろんな形で説明できるが、巾級数による記述は簡潔で、分かりやすい。

cos(z) = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} \frac{1}{(2k)!}z^{2k}

sin(z) = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} \frac{1}{(2k − 1)!}z^{2k−1}

と、 e^{z} の巾級数展開

e^{z} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}z^{k}

とから、次のことを見てとることができる。

e^{iz} = cos(z) + i sin(z)

あるいは、書き換えると、

e^{z} = cos(z/i) + i sin(z/i).

とくに、上の式で z が実数の時だけを考えて、 z の変わりに θ と書くと、

e^{iθ} = cos(θ) + i sin(θ)

という関係式を得る。この一見奇妙な関係式は、実にいろいろな応用を持った、現代数学に決して欠かせない式である。

この式の一つの応用として、複素数の指数関数を、 (高校生卒業程度の知識を持つ諸君にとっては) 見慣れた実関数のみを用いて書き直すことができる。

e^{a+bi}(= e^{a}e^{bi}) = e^{a}(cos(b) + i sin(b))

5.3. 応用. 指数関数と三角関数の関係を用いると、三角関数の加法定理は指数法則から驚く程簡単に出て来ることがわかる。実際、

cos(x+y)+i sin(x+y) = e^{i(x+y)} = e^{ix+iy} = e^{ix}e^{iy} = (cos(x)+i sin(x))(cos(y)+i sin(y))

の両辺の実部と虚部をそれぞれ比べてみれば良い。

5.4. e^{z} の周期性. 指数関数を式 5.2 のように三角関数であらわしてみると、面白いことに気がつく。すなわち、 e^{z} は 2πi を周期に持つ周期関数である。 (e^{z+2πi} = e^{z})

という事実である。虚数が「周期」であるとは妙だと思われる人がいるかも知れないが、このことも含めて本節で述べたような内容は現代数学者 (でなくても大学でちゃんと数学を勉強した人) にとっては常識である。

5.5. この節のまとめ. この節では、三角関数と指数関数の間に簡明な関係があることを、それぞれの巾級数表示を用いて説明した。この関係を用いると、指数関数や三角関数に対する別々の知識を、一つにまとめることができて、大変便利である。さらに、複素数の指数関数を実関数のみを用いて表現する式 5.2

e^{a+bi}(= e^{a}e^{bi}) = e^{a}(cos(b) + i sin(b))

についても説明した。

6. 対数関数の定義

対数関数は、指数関数の逆関数として定義したい。しかしこれには少々問題がある。次の小節以下で考えてみよう。

6.1. 正の実数の log. 正の数の対数は易しい。というのも、

ℝ ∋ x ↦ e^{x} ∈ ℝ_{>0} = {r ∈ ℝ; r > 0}

が ℝ と ℝ_{>0} との間の一対一上への写像をあたえるため、その逆写像として対数関数を定義すれば良いからである。 (良く知っている読者のための注意。「簡単である。」と言っているが、実はこの一文の正当性を主張するには、密かに、連続関数の中間値の定理が使われている。さらに、対数関数の微分可能性等に言及するためには、いわゆる逆関数の定理をもちいることになる。 )

以下では、これを特別に Log と書き、話の道標とすることにする。

6.2. 指数関数の逆関数としての log. 実数 x に対して、 e^{x} は必ず正の値をとるから、例えば負の数の log は実数になると期待するわけにはいかない。そこで、前節に述べたようにまず指数関数を複素数の範囲にまで拡張して考え、その逆関数として対数関数を考えてみたい。

そこで、ここではまず対数関数を既知の実関数で表示することを目標にしてみよう。いま、

e^{z} = w

という関係式が成り立っていたとする。我々はこの z を log(w) と書きたいのであるが、ただ書くだけでは全く掴みどころがない。

そこで、 z は w からどうやって計算すれば良いのかという点について、実関数の知識の範囲内で理解したいのである。

まず、 z = a + bi と z を実部と虚部とにわけ、

w = e^{z} = e^{a+bi} = e^{a}(cos(b) + i sin(b)) ((☆))

と書いてみる。両辺の絶対値を比較することにより、

|w| = e^{a}

ここで、\underline{a は実数で、しかも |w| は正の数であると言うことから}、

a = Log(|w|)

と、 a は前小節で述べた道標的な対数関数を使ってあらわすことができる。これで z の実部に関してははっきりした。

z の虚部についてはどうだろうか。 (☆) 式を見、さらに複素数のガウス平面での表示についての知識を援用すると、 b は w の偏角、すなわちベクトル (a, b) と x 軸とのなす角の角度であるということがわかる。

b = arg(w)

よって、

log(w) = Log(|w|) + i arg(w)

という式が得られ、 w から log(w) を計算する方法がわかったことになる。

6.3. 対数関数の多価性.

log(w) = Log(|w|) + i arg(w)

という式が得られ、 w から log(w) を計算する方法がわかって、めでたしめでたし、というところだが、実は問題がある。それは arg(w) の部分で、これには 2π の整数倍の分だけ不定性がある。すなわち、 log(w) には、 2πi の整数倍の分だけ不定性があるのだ。

この不定性は e^{z} の周期性によるもので、たとえば、

e^{z} = w ならば、任意の整数 n について e^{z+2πin} = w

7. x^{x} の定義再考 25

が成り立つから、 log を e^{z} の逆関数として定義する限りはやむを得ないことであるともいえる。

しかし、現代数学においては、単に「関数」と言えば一価なもののみをさすから、ここの点は少しなんとかしなければならない。さしあたって、 arg(w) は w の偏角を「うまく」選んでしのぐことにする。

6.4. この節のまとめ. 話を複素数にまで広げると、 0 以外の任意の数の対数が求まることがわかった。実関数の言葉で書くと、

log(w) = Log(|w|) + i arg(w)

という式で書ける。 (Log は「普通の」対数関数)

注意しなければならない点は、対数関数は多価性を持つことである。この点については、またあとで立ち返ることにする。

7. x^{x} の定義再考

ここで、 x^{x} の定義について考えてみることにする。

「x^{x}」 = e^{x log(x)}

と見てやれば、右辺は 0 以外の全ての複素数に対して定義できることがわかる。但し、 log の多価性には注意を払う必要がある。

x > 0 のときには、 log(x) の代わりに標準的な Log(x) を使うことができ、それが本編で述べた x^{x} である。以下、区別のために、 x^{x} と言えばこの本来のものを指すことにし、上の拡張された意味の「x^{x}」を f(x) と書いておくことにする。

f(x) = e^{x log(x)}.

x > 0 のときでも、 log(x) として別のものを採用することもできる。たとえば、 log(x) として、 Log(x) + 2πi を採用すると、

f(x) = e^{x(log(x)+2πi)} = x^{x}e^{2πxi} = x^{x}(cos(2πx) + i sin(2πx))

となる。 f(x) の絶対値は x^{x} で、もとのものと一致するが、それが x が変わるにつれてガウス平面をくるくる回る感じになっている。

log の多価性を考慮すると、整数 n の一つ一つにたいして、

f_{n}(x) = x^{x}(cos(2πnx) + i sin(2πnx)

で定義される f_{n}(x) の一つ一つのどれもが「x^{x} 」の名に値するものである。

グラフは次の節を参照して頂きたい。

x < 0 の時を調べるために、 x = −a(a > 0) と置き直してみる。

e^{x log x} = e^{−a log(−a)} = e^{−a(log a+log(−1))} = a^{−a}e^{−a log(−1)}
=\frac{1}{a^{a}} e^{−naπi} = \frac{1}{a^{a}} (cos(−naπ) + i sin(−naπ)) (n は奇数)

と書き直すことができる。

どの n を採用するかによって、いろいろなグラフになる。次節でそれらのグラフを書いてみることにする。

8. x^{x} のグラフ (x が 0 でない実数の範囲を動く場合

実数 x にたいし、\underline{複素数}f(x)(= 「x^{x}」 ) を対応させる対応のグラフを書くためには、 (複素数をガウス平面に書くことにして、 ) 三次元のグラフを書いてみるのがわかりやすい。

この節のグラフは最初のものを除いて mupad を用いて書かれた。 mupad はなかなか面白い道具ですので、可能な人は是非使ってみていただきたい。三次元のグラフはここで見るより mupad で実際にぐりぐり動かした方がずっと面白いはずだ。

愛媛大の平田浩一氏の数式処理 MuPAD 入門や降旗大介氏の MuPAD – a computer algebra system と、そこに書かれているリンク集をたどれば、必要な情報は大抵手にはいるだろう。

8.1. x > 0 の部分のグラフたち.

8.1.1. 分枝その 1. 「通常の」 x^{x} のグラフ。これは本編でも触れた。 (このグラフは gnuplot で書かれた。もちろん mupad でも書ける。 ) 8.1.2. 分枝その 2.

f_{1}(x) = x^{x}(cos(2πx) + i sin(2πx)

のグラフである。前節で述べたように、 x > 0 でも log の選び方を変えるとグラフが変わる。グラフがくるくる回っている様子がわかるだろうか。

このグラフをを書くための mupad のプログラム

8.1.3. 分枝その 3.

f_{−1}(x) = x^{x}(cos(−2πx) + i sin(−2πx)

のグラフである。前の分枝と逆の方向に回転している。このグラフをを書くための mupad のプログラム 8.1.4. 分枝その 4.

f_{2}(x) = x^{x}(cos(4πx) + i sin(4πx)

のグラフである。回転の速度が分枝その 2 の倍になっている。このグラフをを書くための mupad のプログラム 8.1.5. 分枝その 5.

f_{−2}(x) = x^{x}(cos(−4πx) + i sin(−4πx)

のグラフである。このグラフをを書くための mupad のプログラム

8.1.6. 全部の分枝. 全部と言っても、本当に全部書くと書き切れないから、この節で述べたものを集めてみた。このグラフをを書くための mupad のプログラム

8.2. x < 0 の部分のグラフたち. グラフを書く都合上、 a = −x とおいた。

8.2.1. 分枝その 1.

g_{1}(a) = a^{−a}(cos(πa) + i sin(πa))

のグラフ。ぐるぐる回りながら減衰している。このグラフをを書くための mupad のプログラム 8.2.2. 分枝その 2.

g_{−1}(a) = a^{−a}(cos(−πa) + i sin(−πa))

のグラフ。このグラフをを書くための mupad のプログラム 8.2.3. 分枝その 3.

g_{3}(a) = a^{−a}(cos(3πa) + i sin(3πa))

のグラフ。このグラフをを書くための mupad のプログラム 8.2.4. 全部の分枝. ここでも、本当に全部書くと書き切れないから、

この節で述べたものを集めてみた。このグラフをを書くための mupad のプログラム

9. 復習問題

前節までの解説で、 x^{x} の話の概要が掴めただろうか。 x^{x} を、解説編で述べた指数関数と対数関数との組合せで書いた

x^{x} = e^{x log(x)}

という式と、指数関数、対数関数を実関数を用いて計算する式

e^{z} = e^{ℜz}(cos(ℑz) + i sin(ℑz)
log(z) = Log(|z|) + i arg(z)

(ℜz, ℑz はそれぞれ z の実部、虚部をあらわす。 )

を用いると、本編で述べた問題の大半が理解できると思う。 x = −1/2 や、 x = −1/4 のとき、あるいは (これはグラフ編では触れなかったけれど、 )x = i のとき、 x^{x} がどうなるべきか、もう一度考えてみれば面白いだろう。ここでは答えを書くのは控えておくことにする。どうしてもわからない時は私宛にメールをお送りください。

10. 対数関数の多価性について

ここまで読み進んで来ても、すっきりしない読者がいるに違いない。 (すくなくとも、書いている私はすっきりしていない。 ) 現代数学では「関数」といえば一価なものに限られているはずなのに、対数関数は多価関数だからである。

この節では、そこの部分をどう考えるかについて、ちょこっと書いておきたい。

10.1. 偏角を一意に決めてみる。. 対数関数の計算式

(☆) log(w) = Log(|w|) + i arg(w)

において、 w の「偏角」 arg(w) を一意に決めずに、 2π の整数倍の分の不定性を許していたのが log の多価性の原因であったと考えられる。

では、しばしばやるように、

arg(w) は、 0 から 2π のあいだ (正確には、 [0, 2π) の中) にとることにする。

とすれば良いのではなかろうか。確かに、このように決めてしまえば log(w) は (☆) 式によって一意に定まり、いちいち多価性に気をつけなくても済む。前前節の「x^{x}」のグラフにしても、分枝をいくつも書かずに一つだけ書けば済んだのである。

偏角を [0, 2π) の中に選ぶことにすると、「境目」である偏角=0 の部分がちょうど実軸上に来てうっとうしいと思われる向きには、偏角を [−π/2, 3π/2) の中に選ぶなどの方法をとることも出来る。そうすると選ぶ分枝は変わってしまうが、分枝を一つだけ考えれば済むという点ではかわらない。

10.2. 対数関数を一価関数にしてみる。. 前小節のように、複素数の偏角を [0, 2π) (あるいは、 [−π/2, 3π/2) など) の範囲に決め打ちれば、関数 log を一価にすることが出来る。そこで、この節以降では、対数関数の実関数による表現

log(z) = Log(|z|) + i arg(z)

の、 arg(z) の範囲を [0, 2π) に制限して、 log(z) を一価関数にしたものを Log(z) と書くことにする。この新しい Log(z) は実数に対する「通常の」対数関数の拡張になっている。すなわち、 z が実数ならば Log(z) は今までに定義した通常の対数関数に一致する。

10.3. 偏角を選ぶことの面倒な点. 前節や前々節のように、複素数の偏角を [0, 2π) (あるいは、 [−π/2, 3π/2) など) の範囲に決め打ちれば、関数 log を一価にすることが出来、 x^{x} の分枝をたくさん考える繁雑さをなくすことが出来るなど、良いことも沢山ある。

しかし、数学の問題はそれで解決するものばかりではない。実際、対数の満たすべき大事な法則

log(z) + log(w) = log(zw)

も log を Log に変えると無条件には成り立たないことがわかる。 (例えば、

2πi = Log(e^{πi}) + Log(e^{πi}) ≠ Log(e^{2πi}) = 1

である。 )

もっと初心に戻って、 Log が対数関数の逆関数であるかどうか調べてみると、

e^{Log(z)} = z z ≠ 0 のとき)

は確かに正しいのだが、

Log(e^{z}) = z

は成り立たない。 (例えば z = 2πi のとき)

このような不便さは、 log が 2πi の整数倍の分だけ不定性を持っていることに起因している。読者の方の中には、それさえ思い出せば簡単に処理することができると考えられた方もいらっしゃるだろう。しかし、こういう基本的なところでさえ log まで戻っているようでは、とても Log だけでは話が済んでいるとは言えないと考えることも出来る。

10.4. この節のまとめ. 等式

log(z) = Log(|z|) + i arg(z)

の右辺で、 arg(z) のとり方を制限することにより、一価な関数 Log(z) を得ることは出来る。しかしこの関数は他の重要な性質を完全には満たしておらず、いつでも満足できると言うわけにはいかない。もっと短く言うと、

log(z) を z の一価関数として定義したい。

という欲求と、

log(z) + log(w) = log(zw), log(e^{z}) = z

が (z, w の範囲に制限をつけたり 2πi の整数倍を度外視するといったことをせずに無条件に) 成り立って欲しいという欲求は相反する面を持っており、同時に成り立たせるのは (このままでは) 不可能である。

CHAPTER 4 Vista:リーマン面

この章では、前節の最後にのべた、対数関数の多価性が、現代数学ではどのように扱われているかをちょこっと眺めてみることにしましょう。前節の解説口調は疲れるので、この節ではまたもやデスマス調になります。

1. プロローグ:用紙からはみ出して書くこと

私の知っている人で、コード名八百九十三という人 (以下仮にエム氏と呼ぶ) が、新入生向けの数学のセミナーを開催していたことがありました。そこで、 (詳細は知らないのですが、 )y = x のグラフか何かでも書いていたのでしょう。新人氏は黒板にビヤッとグラフを書きました。

エム氏は不機嫌そうにいいました。

「それでは直線ちゃうやないか。線分や。」新人氏も血の気が多かったのか、それなら、と黒板よりはみ出して、

演習室の壁、さらには天井にまで線を伸ばしました。「これでいいですか？」エム氏もそこまでするとは思わなかったろうから、新人氏も内心一

本とったかと思ったかも知れませんが、そこは百戦錬磨のエム氏、表情も変えずに、

「それでは半直線や。」

と言ったそうです。翌日演習室の掃除をしに来た人はさぞやびっくりしたことでしょう。

この話は、単なる笑い話かと思っていたのですが、実は数学の歴史を変えるあるアイディアの話とすごく関係があったのです。

2. 画用紙びりびり

この節の冒頭で述べた話は、グラフのほうを本来書くべき場所 (黒板) からはみ出して書いた話でした。現代数学というのはかなり厳密にできていて、関数の定義域、値域は明確に決まっているのですが、このように「はみ出してみる」ことも発想法としては大事なような気がします。

先に述べた、 log の不定性の問題を「解決」するために、定義域を画用紙のごとく「びりびり」と破って作り変えてしまう荒技にでた人がいました。 (実際には、《「お絵描き帖」を破って妙なところをセロテープで止めた》と言った方が感じがでているかも知れません。 )

その妙技を堪能するためには、まず前節で見て来た指数関数と対数関数を、面と面との対応としてとらえ直すことから始めないといけません。既に、読者の皆様は指数関数と対数関数とは複素数の間の関数に拡張されていることを知っているはずです。複素数はガウス平面の点と一対一に対応することを知っていますから、指数関数と対数関数が、面の間の対応ととらえられても不思議はないはずです。

ただし、グラフのおかれる空間は四次元空間になります。次の節では、まず四次元空間の見方を少しおさらいし、次の次の節で指数関数のグラフを見ることにしましょう。

3. ちょっと四次元

任意の複素数 z に対して、 e^{z} が定義されることを、前節において説明しました。したがって、指数関数

ℂ ∋ z ↦ e^{z} ∈ ℂ

は、ガウス平面とガウス平面の間の対応を与えることになります。この間の対応をグラフであらわしたいと思います。だけれども、二次元のものに二次元のものを対応させるグラフを描くには、四次元空間が必要です。大丈夫でしょうか？

3.1. 四次元空間を紙の上に描く？. 「四次元」と言うと神秘的な響きがありますが、数学ではもっと気楽に使っています。一番身近な四次元空間は、なんといっても私達自身の住んでいる世界でしょう。

時間縦横高さ

の四つの数字を指定すると、「いつ、どこで」と言う基本的なデータを与えることが出来ます。ここに適当な色を塗ると、世界の模型が出来るでしょう。

それでは、四次元空間や、その上で起こった出来事を画用紙、すなわち二次元の空間に描くことが出来るでしょうか？

3.2. 3 次元のものを平面に描く. 3 次元空間のものを、平面上に描く方法は、いくつか知られています。手っ取り早く済ますなら、カメラを使えば良いでしょう。写真からは、かなり正確に 3 次元空間の様子をよみとることが出来ます。もちろん、次元が一つ減っているわけですから、完全に全部のデータを復元できるとまではいきません。「奥行き」の部分のデータが欠落しています。カメラマンの腕で、いかにも奥行きがあるように見せることはできますが、それはそう見えるだけで、逆に近くのものを遠くに見せて「にせ UFO 写真」をとることもできます。しかし、われわれが大体の様子を把握するには十分でしょう。

3.3. 4 次元のものを 3 次元に描く. ビデオカメラを使いましょう。時間を含めた「場所」の情報が、手にとるようにわかります。ビデオは、「画面」 (二次元)+ 「時間」 (一次元) を使って再生するので、 3 次元のところにものを描いていることになります。

「時間」を使うのが嫌いなら、ビデオのひとコマひとコマを写真にとって、大きな部屋に並べてみましょう。おもしろい 3 次元のオブジェができます。あるいは、パラパラ漫画を想像しても良いでしょう。

3.4. 4 次元のものを二次元に描く. もうお分かりですね。 4 次元のものを 3 次元に描いて、その 3 次元のオブジェをさらに平面に描けば良いのです。 (実際に手を動かす必要はありません。想像できれば良いのです。 )

但し、この話を他人に説明する時には、十分注意が必要です。「４次元のものを３次元に描く」と言ったとたんに、「３次元にはものは描けない。そんな絵の具はないから。」といって話を聞いてもらえない場合があります。 (実話です。 )

3.5. この節のまとめ. 四次元空間にあるものを平面に描くのは決して無理ではありません。ただし、描く途中でデータが失われているので、見る方は少し想像力を働かせて見る必要があります。

ひるがえって、描く方から言えば、 4 次元空間におかれたものを、 2 次元に描くには、なくても何とかなるデータを削る操作をすることになります。

4. 指数関数のグラフ

前節の前置きが長くなりましたが、この節でいよいよ指数関数のグラフを描いてみましょう。 mupad を使うことによって、 3 次元のグラフはたやすく描くことが出来るから、あとは一次元分をどのように落とすかです。

指数関数 ℂ ∋ z ↦ e^{z} ∈ ℂ のグラフとは、

(z, e^{z})

を全ての複素数 z についてプロットしたものですから、実関数で全て実の世界に戻すと、

(☆) (x, y, e^{x} cos(y), e^{x} sin(y))

を全ての実数の組 (x, y) について 4 次元にプロットすればよろしい。

ここで、 (☆) の一番先頭の x を落としてしまうことにすれば、めでたく 3 次元のグラフが描けます。実際、 x は他の成分から逆算可能だから、落としてもあとから頭の中で復活できるのです。

このグラフをを書くための mupad のプログラム

4.1. 螺旋階段を上から覗いてみる. この、指数関数のグラフはどう見れば良いのでしょうか？もちろん、いろんな見方があって良いはずです。ここでは一例を挙げておきます。

捻れた「螺旋階段」は、指数関数の定義域と同一視できます。指数関数は、螺旋階段を上から見ることによってできる螺旋階段と地面との対応と考えることが出来るのです。

対応関係がわかりにくいかも知れないので、別の言い方をしましょう。螺旋階段は光を良く通すとし、螺旋階段の一点にきれいなお姉さんに立って頂きましょう。いま、真上から太陽光線があたっているとすると、地面にお姉さんの影が出来ます。この、お姉さんと影との対応が、ちょうど指数関数なのです。

4.2. グラフから見た対数関数の多価性. 指数関数のグラフが見えて来たでしょうか？指数関数のグラフを見ると、対数関数の多価性は次のように説明できます。

対数関数とは、指数関数の逆関数ですから、前節の言葉を借りると、お姉さんの影からお姉さんが螺旋階段のどこにいるかを当てるということになります。すぐわかるように、影からはお姉さんがどこにいるかを正確に当てることは出来ません。同じ影でもお姉さんのいる高さに違いがあるかも知れないからです。

前章の、「対数の虚部 (偏角) のとり得る値を制限することによって対数を一価にする」という話を思い出してください。この話を今の話で説明すると、「お姉さんの居場所を (例えば一階から二階の間に) 制限することによって、影からお姉さんの居場所を当てられるようにする」ということになります。しかし、もとの螺旋階段に比べると、《一階から二階までの間に制限された螺旋階段》というのはきれいではありませんし、不自由な感じがします。

「何で私がこんなところにいると決められなきゃいけないの」と、お姉さんに怒られそうです。

4.3. この節のまとめ. (複素数の全体を定義域とした) 指数関数は、面から面への対応としてとらえてみると、螺旋階段から地面への射影、つまり、「螺旋階段のお姉さん」に「お姉さんの影」を対応させるものと見ることが出来る。

この対応は多対一である。つまり、お姉さんの影がどこにあるかわかってもお姉さんが居る可能性のある場所はたくさんある。 (但し、それらは周期的に存在している)

5. ノリとハサミの時代へ

読者の中には、指数関数と対数関数の話が、思いがけずに螺旋階段の話になって、びっくりした方も居るかも知れません。複素数の関数をガウス平面を使って理解しようとする動きから始まって、面と面との対応、さらにはもっと一般的な幾何学へと向かって行く流れは、歴史的にも大きな流れになっています。

この節では、螺旋階段と、その上の点の影について、もう少し調べてみましょう。

5.1. 模型をつくって考える。. いつまでも螺旋階段で遊んでいると暑いですから、部屋に戻ることにしましょう。 (注:この文章は夏に書かれました。 ) その代わりに螺旋階段の模型をつくって、上から蛍光灯の光をあて、螺旋階段上の点とその影の様子を調べることにします。 (螺旋階段の模型を作るときは透明の素材を用いると良いでしょう。といっても、実際に作る必要はありません。頭にイメージが描ければいいのです。

5.2. 螺旋階段に「1F,2F,...」と階数をつけてみる. 指数関数は、螺旋階段の点に対してその影を対応させるものだと見倣すことが出来ました。

対数関数は、その対応の逆対応なのですが、前節でも触れた通り、逆対応はそのままではうまく決まりません。影だけからはもとの点の位置は推測できないのです。

では、便宜上、螺旋階段をぐるりと回って一回転するごとに 1F,2F,3F,... と番号 ( 《階の数》 ) をつけ、影がどこにある、という情報の他に、「今何階に居るか」という情報を付け加えたらどうでしょうか？

改良された対応:

「螺旋階段上の点」 ↦ (「点の影」 , 点は今何階にあるか)

これなら逆の対応が作れそうです。

5.3. 連続性. 「逆対応」を作るには、前小節のやり方で十分、と思われる方があるかも知れませんが、一つ欠点があります。

「点が今何階にあるか」と言うデータは点が少し動いた時に 1 だけずれることがあって、「連続性」を欠いているのです。

それを改良するための方法が、プロローグで述べた、「お絵描き帖」をびりびり破ってテープで貼る方法です。

どうやるかなんとなく想像できるかも知れません。次の節では、この方法に至る道に迫ってみたいと思います。

5.4. 螺旋階段の「地図」を描く. よく、ビルなどで階ごとの「地図」が描いてあるものがあります。たとえば、 2 階の地図で、上に登る階段の部分は、「3F へ」等と描いてあり、そのページには 3F までは書き込まれてはいません。 3F の部分は別のページに描いてあります。 (あたりまえか。 )

これを、螺旋階段でやったとしましょう。「地図」を描くと言うことは、一対一対応を与えるということですから、私達の当面の問題と関係して来ます。

前前節で触れたやり方は、ちょうど各階ごとに螺旋階段の地図を作って、「螺旋階段地図集」をつくったことになります。この「地図集」の欠点は、「1F へ」とか「3F へ」とかいう部分で本来螺旋階段ではつながっているはずの部分が切れ切れになってしまっていることです。しかも、全然近くない (上下に離れている) はずの、二階の地図の「1F へ」と「3F へ」がすごく近くに描かれてしまいます。

5.5. 地図を切って、貼り直す. 「地図集」をハサミで切って、貼り直すと、前小節の最後で述べた変な部分を解消することが出来ます。 (どうやるかわかりますか？ )

出来たものはもとの螺旋階段と同じ形をしています。今までの一連の操作は、ハサミとノリ (テープですけど) をつかって、新しい面を作る方法を示唆しています。

5.6. この節のまとめ。. 複素数の関数 (ここでは指数関数) は、面から面への対応と見倣すことができます。いったん、面と面との対応として眺め直してみると、「ハサミ」と「ノリ」で切ったり貼ったりする、というアイディアが湧いて来ます。

この「切ったり貼ったり」という操作を「複素数の関数」の立場に戻って理解できるでしょうか？

実は、そのようなことは現在では一般に広く行われており、ガウス平面やこの稿ででて来た螺旋階段のような面以外にも、任意の面を使って、その上の複素数の関数や、面と面との対応の理論を作ることができます。

このように、「複素数の関数を調べるために用意した面」のことを、リーマン面と呼んだりします。正確な定義をするためにはもう少し文を書かねばならないため、私はここで筆をおくことにします。 (キーボードで打ってるんですけど...) ここまで読んで頂いた読者の皆さんが、もし興味がおありなら、「関数論」あるいは「リーマン面」の名前を持つ本をのぞいて御覧になるのがいいでしょう。何冊か覗いてみると、きっと「猫の絵」が書いてあるような面白い本があると思いますよ。 (注:数学の入門的な本で好評なものには、「猫の絵」が描いてあるものが多いという俗説があります。 )

CHAPTER 5 補遺

1. 微分とは

1.1. 微分の定義. 実数上で定義された関数 f の微分について、一応少しだけ書いておこう。その導入方法はいろいろあるが、ここではやはり f のグラフにこだわって、《f のグラフの、 x = a における接線の傾き》と言う観点からみることにする。 f のグラフの接線を引くには、グラフ上の二点 (a, f(a)) と (a + h, f(a + h)) を結ぶ線の傾き

\frac{f(a + h) − f(a)}{h}

の h → 0 での極限を求めればよい。 (figure)

例によって、極限で値を定義しようとするためには「その極限が本当に (ひとつに) 定まるか？」ということに注意を払う必要がある。 (もちろん、極限が存在するかどうかは f としてどのようなものをとるかに依存している。 ) この極限が存在する時、《f は x = a で微分可能である》と言い、極限値 (グラフの接線の傾きだね) のことを

f′(a)

と書くんだ。

f′(a) = lim_{h→0} \frac{f(a + h) − f(a)}{h}

ℝ の各点で、 f が微分可能なら、

f′(x) = lim_{h→0} \frac{f(x + h) − f(x)}{h}

として、 ℝ 上の新しい関数 f′(x) が定義できることにも注意しよう。 (プライム (′) がどこにつくかわかりにくい時には

\frac{d}{dx}(f(x))

とも書く。もっとかんたんに、 Df(x) と書く時もある。 )

1.2. 微分の公式いくつか. ここでは、微分の公式のうちで、簡単にわかって、この解説編で使うものだけを挙げておこう。

(f + g)′ = f′ + g′, (f − g)′ = f′ − g′
(fg)′ = f′g + fg′

\frac{d}{dx}(f(ax)) = af′(ax)

2. 自然対数の底 e

2.1. 指数関数の微分. b は正の実数とする。 f(x) = b^{x} の微分を考えてみよう。

lim_{h→0} \frac{f(x + h) − f(x)}{h} = lim_{h→0} b^{x} (\frac{b^{h} − 1}{h}) = b^{x} lim_{h→0} (\frac{b^{h} − 1}{h})

だから、

l(b) = (b^{x})′|_{x=0} = lim_{h→0} (\frac{b^{h} − 1}{h})

の部分がわかればいい。 l(b) が存在することは他の本を眺めて頂くことにして、ここでは、 l(b) は b について単調増加で、 l(1) = 0 ということのみに注意することにしよう。さらに、

• l(b) が b について連続で、

• lim_{b→∞} l(b) = ∞ ということがわかれば、 l(e) = 1 となる正の数 e がただ一つあることがわかって、この e に関する指数関数は微分に関して特別に簡単な形、すなわち

(e^{x})′ = e^{x}

を持つことがわかる。 e のことを自然対数の底という。 l(b) に関する上記の二つのことを l(b) の定義から直接示すこともできる。しかし、それはわざとらしい感じがするので、次節で l(b) の正体をばらし、上の二つのことを示そう。

2.2. l(b) の正体. 前節で、

l(b)(= (b^{x})′|_{x=0}) = lim_{h→0} (\frac{b^{h} − 1}{h})

という関数を導入したが、これは実は対数関数なのだ。この節ではそのことを示そう。 1 より大きい正の数 b をとって、とりあえず固定しておく。正の実数 c を任意にとり、

c^{x} = b^{x log_{b}(c)}

ということに着目する。上の式の両辺を x で微分し、 x = 0 とおくと、

l(c) = log_{b}(c)l(b)

b を止めて c を動かすと、 l(c) は c の関数として log_{b}(c) の定数倍であることがわかる。対数関数のいくつかの性質を思い出せば、これで前々節保留しておいた l(b) の性質が確かめられたことになる。

さらに、

l(b) = log_{e}(b)

であることもついでにわかったわけである。

2.3. 微分方程式. f(x) = e^{x} は、微分しても変わらない、つまり、

f′(x) = f(x)

を満たすことがわかりました。 f(x) = a^{x} は、

f′(x) = αf(x)

(α = log(a)) をみたします。逆に、このような性質を満たす関数がどのぐらいあるかを調べてみましょう。 (このような、微分の満たす関係式を、微分方程式、と言い、そこから元の関数を求めることを微分方程式を解くと言ったりします。 ) f が関係式を満たすとし、それと a^{x} = e^{αx} との違いをみたいわけです。ここでは、 f を e^{αx} で割った

g(x) = f(x)e^{−αx}( 逆に言うと、 f(x) = g(x)e^{αx}

を調べてみることにします。 f のところを g(x)e^{αx} で置き換えることによって、

g(x)′ = 0

が得られることがわかるでしょう。微分して 0 ということは、 g(x) のグラフの接線が常に x 軸と平行ということですから、 g(x) は定数 (仮に C とおく) です。

f(x) = Ce^{αx} = Ca^{x}

となって、もくろみどおり f は a^{x} と定数倍の違いしかないということがわかりました。簡単にわかるように、 C がどんな値であっても Ca^{x} は元の微分方程式を満たします。もし C の値までこめて込めて決定できるような方程式系を作りたいなら、例えば、

\{ \begin{matrix}f′(x) & = αf(x) \\ f(0) & = 1 \end{matrix}

などというように指定してやるのが良いでしょう。

2.4. 三角関数とその一次結合の満たす微分方程式. 前節に述べたように、 f(x) = sin(x) は

(f(x))′′ = −f(x)

を満たします。しかし、これは微分を二回も行っているので、先程の指数関数の微分方程式に比べて、やや複雑です。このような状況を解決するのに、便利な方法があります。

D^{2}f(x) = −f(x) ∴ (D^{2} + 1)f(x) = 0

とやってから、やおら D^{2} + 1 = (D − i)(D + i) と因数分解し、

(D − i)(D + i)f(x) = 0 ∴ (D − i)(f′(x) + if(x)) = 0

とやるのです。 f(x) = sin(x), f′(x) = cos(x) でしたから、

(D−i)(cos(x)+i sin(x)) = 0 ∴ (cos(x)+i sin(x))′ = i(cos(x)+i sin(x))

ということになります。まとめますと、 g(x) = cos(x) + i sin(x) という関数を考えると、 g′(x) = ig(x) を満たす。ということになります。ちょっと注意してやれば、 e^{αx} の時と同様の議論をつかうことにより、 cos(x) = i sin(x) は

\{ \begin{matrix}g′(x) & = ig(x) \\ g(0) & = 1 \end{matrix}

を満たす唯一の関数だということも示すことができます。

(この節の内容のうち、 D を使う部分は、「本当にこんなことやって良いの？」という声が上がりそうですが、大丈夫。注意さえすれば十分正しい議論として通用します。このようなやりかたは、《演算子法》あるいは《作用素の代数の理論》として知られているものです。 )

2.5. 指数関数と三角関数との関係. よく見てみると、前節までに、次のような微分方程式が二種類出てきました。

\{ \begin{matrix}f′(x) & = αf(x) \\ f(0) & = 1 \end{matrix}

α が実数なら、 f(x) = e^{αx} が唯一の解であり、 α = i ならば、 f(x) = cos(x) + i sin(x) が唯一の解でした。

でも、こんな場合分けは余り嬉しくない。 α がどんな数であっても、方程式の解は同様な式で表せた方が便利だ。もし、

e^{ix} = cos(x) + i sin(x)

と決めることができたら、便利だとは思いませんか？でも、本編でも見たように、便利そうに見えるからといって、直ちにそう決めてしまうと、失敗することがありますから、他のいろいろな状況も併せて考える必要があります。結果からいうと、こう決めるのは実に有効で、現代数学に欠くべからざる公式の一つになっているのです。

CHAPTER 6 あと書き

悪の世界では、前書きを読んだすぐあとであと書きを読むことに決まっています。だからきっとこの文を見ているあなたもそうなのでしょう。 (そうでないひとは本稿を多少なりとも読んだはずだから次回からはそうなさるでしょう。 )

1. ウルトラマンとゴジラ

私は絵を書くのが好きなのですが、人物画を書くとウルトラマンみたいな絵になってしまいます。単純な線ばかり書いて、細かいことを書き込まないからです。

これとは対照的に、ゴジラの絵を書くには、細かなしわしわの線をたくさん書かなければなりません。そういうところを丁寧に書き込んで始めてハチュウ類独特のおどろおどろしいゴジラの質感がでて、それらしく見えるのです。そういう絵が書ける人は羨ましいとつねづね思っていました。

数学の話でも、時には枝葉末節を必要以上に説明したほうがリアリティーというか、臨場感が出てきてその楽しさを満喫できることがあります。

大阪人のサガか、私は話をするときはそういうことができる、というより自然とそうしてしまいます。

ただし一つ問題があって、そうすると時間が通常よりもかかるのです。 (その差は、ゴジラとウルトラマンを描いて時間を比べてみれば歴然です。 )

通常の講義や勉強は効率を重視しますから、その面から言えば、やはり不必要な枝葉を切り落としたスリムな話が優先され、「どこが本質か？」ということに重点がおかれることになります。

ゴジラとウルトラマンの優劣を論じてもしかたのないように、どちらの話かたがより優れているというわけではないのですが、バランスの上から言えば、たまには細かい話も面白いのではないか、と思って話始めたのが、今回の話です。

ところがやはり時間の制約もあって、最後はやはり枝葉を切り落とすはめになり、「ゴジトラマン」 (頭がゴジラで体がウルトラマン) のような中途半端な話になってしまいました。とても反省してます。

せめてもの罪滅ぼしにと書いたのが、本稿です。書かれたものを読むのは話を聞くのに比べると精神力が必要ですが、半面自分のペースで好きなところを読めると言う利点もあります。

本稿が皆さんのお役に立てればこれに勝る喜びはありません。それでは、お楽しみください。 (これから本文を見ることでしょう

から!)

2. 最後の最後に

それにしても、公開講座における生徒の皆さんの想像力、理解力は諸先生の期待よりはるかに大きく、紆余曲折を経ながらもどんどん正解に近付き、重要な概念を発見していく様子は、感動的でさえありました。

私もさらなる修行をして、ちゃんと時間内に「ゴジラを描ける」ようになりたいと思います。

つちもとよしふみ