無理数の $x$ に対する $x^x$ は大丈夫?

 さて、お茶会での話に戻ろう。$x^x$ が恐くなってきたので、 そもそも、$x^x$ の定義って何だっけ?という話になったんだ。 要は巾乗の定義ってやつだよね。 やっぱり整数乗なら自信があるけど、そのほかは? $a$ が正の数で、$b=n/m$ ($n,m$ は正の整数)と書けている場合なら、

$$a^b=(a^{1/m})^n$$

とやって、$a$ の 《$m$ 乗根の $n$ 乗》 とやればよさそうだ。教科書にもそんなことが書いてあったような気がするし。 (ここでも、「筋の通るように定義する」という原則が生きているよね。) でも、

$$(\sqrt{2})^{\sqrt{2}}=2^{\sqrt{2}/2}$$

なんかは、どう考えればいいんだろう。