指数関数の微分

$b$ は正の実数とする。 $f(x)=b^x$ の微分を考えてみよう。

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to 0}b^x\left(\f... ...h-1}{h}\right) = b^x\lim_{h\to 0}\left(\frac {b^h-1}{h}\right)$$

だから、

$$l(b)=(b^x)'\vert _{x=0}=\lim_{h\to 0}\left(\frac {b^h-1}{h}\right)$$

の部分がわかればいい。$l(b)$ が存在することは他の本を眺めて頂くことにして、 ここでは、$l(b)$ は $b$ について単調増加で、 $l(1)=0$ ということのみに注意することにしよう。 さらに、

• $l(b)$ が $b$ について連続で、
• $\lim_{b\to \infty}l(b)=\infty$

ということがわかれば、$l(e)=1$ となる正の数 $e$ がただ一つあることがわかって、 この $e$ に関する指数関数は微分に関して特別に簡単な形、すなわち

$$(e^x)'=e^x$$

を持つことがわかる。$e$ のことを自然対数の底という。 $l(b)$ に関する上記の二つのことを $l(b)$ の定義から直接示すこともできる。 しかし、それはわざとらしい感じがするので、 次節で $l(b)$ の正体をばらし、 上の二つのことを示そう。