Seminaire Bourdoki I

相対論的量子論に関する基礎的考察 II

コタンジェントバンドル上の関数環と微分作用素

–非可換幾何学の故郷–

1. コタンジェントバンドルの「量子化」

非可換幾何学の最初の題材は、多様体のコタンジェントバンドルの量子化である。要は、コタンジェントバンドル上の関数環を、微分作用素等によって置き換えることになるわけだが、ここでは少しその動機に付いて述べることにしよう。

私が愛読しているメシア「量子力学 I」 (小出、田村訳) の「対応によってシュレーディンガー方程式をつくる一般的な規則」を見てみると、次のように書かれている。

– 一つの古典力学系を考え、その運動方程式はハミルトン関数H(q_{1}, …, q_{R}; p_{1}, …, p_{R}; t) から導かれるとしよう。この関数は配置空間における系の (一般化) 座標 q_{1}, …, q_{R} と、それに対する共役 (一般化) 運動量 p_{1}, …, p_{R} と、時刻 t によって決まる。この系の全エネルギーは、

(☆) E = H(q_{1}, …, q_{R}; p_{1}, …, p_{1}, …, p_{R}; t)

である。この古典系に一つの量子系を対応させ、その力学的状態を配置空間で定義された波動関数 Ψ(q_{1}, …, q_{R}; t) であらわし、方程式 (☆) の両辺に置換

(★) E → ih∂/∂t, p_{r} → h/i∂/∂q_{r}

を行い、これら二つの量を演算子とみなして Ψ に作用させた時、その結果が等しいと書くことによって、この量子系の波動方程式をつくる。こうして得られた方程式が、対応する量子系に関するシュレーディンガー方程式である。 –

数学の言葉に置き換えてみよう。配置空間はある多様体 M、 q_{i} はその上の座標関数、 p_{i} は M のコタンジェントバンドル T M のファイバー方向の座標関数に相当する。 p_{i} は、 T^{∗}M の双対 T M のセクション、すなわちベクトル場とみなすこともできるから、これらは C^{∞}M 上の微分作用素としての意味を持つ。

T^{∗}M 上の関数は、 q_{i}, p_{i} の組合せでつくられることから、 T^{∗}M 上の関数の各々に対して、《p_{i} に ih∂/∂q_{i} を代入した》作用素を対応させることができる。それが置換 (★) の意味である。

微分作用素の非可換性のため、このような対応は「自然」ではない。例えばこのような対応は決して環準同型にはならない。

これは「古典的な対象に対応する量子的な対象」が一意に定まらないことを示している。しかし、「量子的な対象が先にあって、その近似として古典的な対象が目に止まる」という立場からはこのような「量子化」が一意に決まらないのは当り前なのであって、だからこそはじめから非可換な対象を相手にした非可換幾何学が必要なのである。すなわち、量子化すべきなのは多様体ではなくて、我々の思考法の方である。

(余談であるが上記の「量子化」のプロセスを少し一般化したものとして symplectic quantization というものもある。これについては又別の機会に述べよう。 )

2. 代入の諸方法 (1)

前節では、古典論と量子論の「対応」、とくに通常の関数に微分作用素等の「作用素」を対応させる話が出た。このような「対応」のためには作用素の非可換性以外にも解決されるべき問題がいくつかある。このあたりの事情について少し触れておこう。

まずこのような「対応」の多くがしばしば「代入算」として説明されることに注意しておく。実際、関数はしばしば多項式の「極限」として得られ、多項式については (作用素の積の順序の問題を別にすれば) 前節で述べたような「対応」を容易につけることができる。

議論に現れる作用素が一つだけの時には、この対応はとくに見やすい。多項式

f(x) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} (a_{i} ∈ ℂ)

に対しては、 x を作用素 A に単に置き換えて、

f(A) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}A^{i}

をつくれば良いのである。この対応を連続に拡張する方法がいくつかあるが、ここではいわゆる「Operator calculus」について述べよう。

○自己共役な作用素に対する代入算

ヒルベルト空間 H 上の作用素 A が自己共役なら、 A を ℝ 上の任意の連続関数 f に代入することができる。

大学初年級の知識で、このことをある程度了解するために、 H が有限次元の時を考えてみることにしよう。このときには、 A はユニタリ作用素で対角化される。 f(A) を求めるには A を対角化して対角線の各要素を f に代入すればいい。もう少し詳しくいうと、次のようになる。

A が次のように対角化されているとする。

A = UDU^{∗}

(U はユニタリ行列。 D は対角行列。 ) このとき、任意の一変数多項式 f(x) に対して、

f(A) = Uf(D)U^{∗}

がなりたつ。 f(D) は D の各要素を f に代入することにより直ちに求まる。

f(diag(d_{1}, …, d_{k} …)) = diag(f(d_{1}), …, f(d_{k}), …)

この操作は、 f が多項式以外の場合にも容易に拡張でき、結局、 H が有限次元の場合については ℝ 上の任意の関数に H 上の自己共役作用素を「代入」することができる。

H が無限次元の時には、上の「対角化」は「スペクトル測度」による「スペクトル分解」に置き換えることになる。有限次元の時のように「対角要素」 (スペクトル) は離散的に現れるとは限らず、いわゆる「連続スペクトル」を考慮にいれなければならなくなる。その結果さすがに全ての関数 f に作用素 A を代入するわけにはいかなくなるが、 f のボレル可測性を仮定すれば f(A) を定義することができる。 (我々が普通に考える関数は大抵ボレル可測である。 )

上の議論でも察しがつくように、 f(A) は A のスペクトル集合 Sp(A) 上での f の値にのみ依存する。

代入算は Sp(A) 上の関数環と、 A で「位相的に生成された」作用素代数との環としての同型を与える。作用素代数の種々の問題が集合 Sp(A) の問題に帰着されるのである。

作用素の数が増えた時にも、これらの作用素が互いに可換であるならば、上のような議論が可能である。 (線型代数の知識では、「可換な対称行列は同時対角化可能」という定理がこれにあたる。 )

例えば、 Gel’fand による可換 C^{∗} 代数の表現定理:

– 可換 C^{∗} 代数はあるコンパクト集合 K 上の連続関数全体のなす環と同型である。 –

はこのタイプの定理の代表的なものである。

可換環にその「スペクトル集合」を対応させるというアイディアは、補強されてアファインスキームの理論につながっていくことになる。これについては代数幾何学の成書を参照されたい。

○一般の作用素に対する代入算

上の議論で、「自己共役な」作用素について考察してみたが、一般の作用素についてはどうであろうか。

A が正規、すなわち A とその共役作用素 A^{∗} とが可換な場合には、容易に上の議論に帰着できる。 A^{∗} が重要視されるのは、 Weierstrass の多項式近似定理 (の複素領域版)

– 複素平面 ℂ の任意のコンパクトな部分集合 K とその上の連続関数 f は, z, z̄ の多項式で K 上一様に近似できる。 –

にその源を求めることができる。 (z の複素共役 z̄ が必要になる所がポイントである。 )

z のみの多項式で近似できるのは K の内部で解析的な関数のみであり、それに対応して正規と限らない作用素 A はそのスペクトル集合の近傍で解析的な関数には代入できることが示される。 (線型代数の知識でいえば、 A は「対角化可能部分」 S と「巾零部分」 N の和 (で、 S と N は可換) というぐあいに書け、 f の Taylor 展開を用いて

f(S + N) = f(S) + f′(S)N + …

という具合に書けることに当たる。 (ここの所は少し不正確に述べている部分があるが、感覚を掴むための例であるので詳しくは述べない。 )

なお、この節で述べたことは、 Bourbaki(本家!) 「スペクトル論」に詳しい。

3. 代入の諸方法 (2)

前節では、作用素が可換な場合の「代入算」について述べたが、我々の扱う作用素は大抵可換ではない。ここでは、非可換作用素の「代入算」の例として、よく知られているフーリエ変換を用いた擬微分作用素の定義について非可換幾何学的な考えを交えながら述べてみよう。

前前節に少し述べたように、コタンジェントバンドル上の関数と微分作用素とは「対応」している。

しかし、微分作用素だけを相手にするのでは、コタンジェントバンドル上の関数の中でも、ファイバー方向の変数について多項式であるようなもののみを扱うことにあたり、 (代数幾何の人以外の人にとっては) 嬉しくない。コタンジェントバンドルは、美しい非可換幾何学的対象の影であって、可換世界での事実は、量子世界の本物に対応物があるはず、という立場に立てば、是非ともコタンジェントバンドル上の (C^{∞} その他) いろいろなクラスに属する関数に対応する「非可換関数環の元」を見つけ出したくなる。

言い方をかえれば、これはコタンジェントバンドル上の関数に微分を代入することにあたる。このようにしてできた作用素は、一般に擬微分作用素と呼ばれる。 (ただし、十分広い関数のクラスに代入することを考えると、これは全ての作用素を考えることと同じになり、面白くないので、関数のクラスを制限するのが普通である。そうは言っても、いろいろな作用素を微分作用素のような素性の良く分かった作用素で表現している、という点では便利であるので、クラスを広くとるのも全く無意味というわけではない。 )

擬微分作用素の定義の仕方にもいろいろあるが、良く知られているものの一つに、 (考えている多様体がユークリッド空間 ℝ^{n} の場合に、 ) フーリエ変換 ℱ とその逆変換\overline{ℱ} を巧妙に使う方法がある。これは、フーリエ変換が x と id/dx との役割を入れ換えること、およびかけ算作用素 (x の方) は簡単に関数に代入できるという事実を使ったもので、大まかに言って、

(f(x, id/dx)ϕ)(x) = \overline{ℱ}_{ξ}[f(x, ξ)ℱ[ϕ](ξ))](x)

のように定義される。

この定義は「位置変数 x が前、運動量変数 p が後。」というならべかたの規則を採用しているのとおなじである。すなわち、 f が x, p についての多項式の場合には、 (定数の係数を除いて、 )

∑_{i,j} x^{i}p^{j} ↦ ∑_{i,j} x^{i}(d/dx)^{j}

のように対応させ、後はそれを適当な位相について連続に拡張していることになる。

フーリエ変換を巧妙に用いたこのような方法はなかなか面白いものではあるが、前述したようにこのような対応は「自然」なものではなく、例えば考えている多様体を一般にした時には張り合わせの糊シロの部分で少しつなぎ方を考えねばならなかったりする。 (したがって、実際には「コタンジェントバンドル上の関数に微分を代入する」と言う言い方はすこしく正確性を欠いている。 )

そのような事情のため、 T^{∗}M を影として持つような非可換多様体上の関数環 (以下では仮に A と書くことにする。 ) として何を採用するかは、難しい問題になっている。

採用の基準として思い付くものをあげてみると、次のようになる。 • A には関数が少なすぎてはいけない。具体的には、 C^{∞}(M) の元、

および、自己共役な微分を前節の意味で C^{∞} 関数に代入した元は A に含まれるべきである。

• もっと一般に、 A の自己共役な元を前節の意味で C^{∞} 関数に代入した元は A に含まれるべきである。

• A には関数が多すぎてはいけない。 A は前二項を満たすような最小限の環である。

• A は M に対して関手論的に定義される。

• ℝ^{n} に対する A はフーリエ変換に関して不変である。最初の三項でうまく定義できていると思う方がいるかも知れないが、その定義では他の項目と矛盾してしまうようである。「無限回微分できる」と言う素朴なアイディアを変更する必要があるのではないか、とも思われる。

このような考察は、

熊ノ郷準著擬微分作用素

の序文に書かれている「どのようなものを擬微分作用素と呼ぶか」という問題と関連しているが、

たとえば e^{d/dx} (並行移動) のような元を考えに入れたいため、 A の元は一般には (上にあげた本で扱われているような) 擬局所性を持たないと覚悟すべき所が大きく違っている。

A の元は ℝ^{n} のようなものを張り付ける接着材としての役割を担うため、その解明は基本的であると考えられる。今後の研究が待たれる所である。 (あるいは、既に知られているのなら是非筆者までお知らせください。 )

4. 結語

今回は、コタンジェントバンドルと、 (擬) 微分作用素の環が如何にして関係付けられるか、ということについて述べ、そのさい「可換な世界」から非可換の世界への飛躍のための道具として使われる「代入算」についても述べた。

ところで、 (擬) 微分作用素至上主義になって、非可換幾何学を全て (擬) 微分作用素の議論で済ますことは可能だろうか？

(通常の) 多様体が全て ℝ^{n} に埋め込まれるからといって、多様体の理論が ℝ^{n} に関する理論に帰着しないように、 T^{∗}M の「量子化」にあたるものの「部分非可換多様体 (後述)」を扱うだけでもやはり非可換幾何学が必要になるように、筆者には思える。

いずれにせよ、ちょうど ℝ^{n} 上の解析学が (通常の) 多様体論で大きな役割を演じるように、非可換幾何学のヒナ型として、 (擬) 微分作用素の理論は非常に重要な位置を占めるように思われる。

(つづく)