$T^* M$ のシンプレクティック構造と微分作用素の交換関係との関係

微分作用素の環は(微分作用素としての)階数によってフィルターづけされる。

$$Diff(M)=\sum_n Diff_n(M).$$

このフィルターづけされた環の"Gr" をとったのが $T^* M$ の上の関数環 である。$n$ 階の微分作用素 $D\in Diff_n(M)$ が代表する $Gr_n(Diff(M))$ の元を $(D)_n$と書くことにする。

$Diff(M)$ のフィルトレーションは次のような特徴をもつ。

$$[Diff_n(M),Diff_m(M)]\subset Diff_{n+m-1}(M)$$

その結果、 $Gr(Diff(M))$ には「一つ次数がずれた」ブラケットが定義される。

$$\{(D)_n,(D')_m\}=([D,D'])_{n+m-1}$$

このブラケットが、前節で定義された $T^* M$ のシンプレクティック構造に 対応したポアソン括弧である。

この対応から学ぶべきものはたくさんあるが、それはおいおいでて来るので、 ここではこのぐらいにとどめて先に進むことにする。