Séminaire Bourdoki I

相対論的量子論に関する基礎的考察 IV

商空間についての考察

1. 目的

本稿は非可換多様体の商空間をあつかうための準備的考察を行う。 III でも述べたように、 sub と quotient とは裏腹にあるはずだから、これは部分多様体の話とも関係しているはずである。

2. トーラスの上のフォリエーション

話を簡単にするために、二次元のトーラス T = ℝ^{2}/L 上のベクトル場 X = d/dx − αd/dy を考えることにしよう。ここで、 L は R^{2} のなかの lattice で、 x, y は R^{2} の座標関数である。もし定数 α が無理数なら、良く知られているようにこのベクトル場の積分曲線はトーラスを無限回巻きついた曲線である。そして、 T をこのベクトル場で割ったものは奇妙なものであるということになっている。実際、このベクトル場に沿って不変な T 上の連続関数は、定値関数のみである。

A. Conne 氏の「Non Commutative Geometry(Academic Press; ^{1}」には、この状況を改善するための、面白い処方箋がのってある。曰く「ここでは、関数の代わりに作用素値の関数を考えればいい。」

実際に、 C(T) ⊗ 𝔹(H) を考えて、それをベクトル場で割ってやれば良いかと言うと、それでは全く状況を変えることが出来ない。つまり、上に引用した言葉は、「係数拡大」 (ベース変更) というアイディアだけでは理解できない部分がある。

T 上の関数を考える代わりに、ベクトル束のセクションを考えるのはどうだろうか。これはうまくいく。

砂田利一氏の「基本群とラプラシアン (紀伊國屋数学叢書 29)」では、 T の基本群の表現に由来する T 上の (無限次元) ベクトル束 V を定義し、「C(T) 上の V のセクション」と、「ℝ^{2} 上の (無限遠での挙動に少し条件をつけた) 関数」とが一体一に対応していることを示して T 上の解析学と ℝ^{2} 上の解析学との行き来を可能にしている。

ここでも、このベクトル束 V を流用すると、 T 上の X-不変セクションは ℝ^{2} 上の X(の R^{2} への持ち上げ)-不変なセクションに対応させることができ、期待していた通り十分多くの X-不変セクションを得ることが出来る。ただし、この話の V を適当な有限ランクのベクトル束に置き換えることはできない。これは、 X の積分曲線が非コンパクトなことに起因している。

1この本はもともとフランス語の本の「訳本」であるが、フランス語版よりも内容を増やして充実している。

3. アーベル圏で捉えた商空間 I

(III+1/2) でも述べたように、空間を「そのうえの (準連接) 層のなすアーベル圏」から研究する方法がある。この方法では、始めから層全体を相手にしているので、前節で述べた、「不変関数だけでなく不変なセクションを考える」には、この方法は特に適している。

ただし、前節で見たようにランク有限の層だけを扱っていては不十分であることにも注意しておく。

簡単にまとめておくと、この節の手法は、アーベル圏 𝒞 を群 G で割る際には、「G-作用を持つような 𝒞 のオブジェクトのなす圏」をこしらえて、その「不変部分」をつくればいい、ということになる。

4. 有限個の点の場合

多様体が有限個の点からなる場合に、これを群の作用で割ることについて、反省してみよう。 (これは、単なる簡単な例を考えていると言うだけではない。我々の住んでいる世界が有限個の点からなるとしても、そう簡単に矛盾は得られないであろうことから、有限個の点をきちんと取り扱うことは大事であると思われる。 ) なお、以下では有限個の点には「数えあげ測度」をいれておくことにする。 (ここのところをいろいろと変えてみると話の測度依存性が若干見えて来るかと思われる。 )

有限個の点 M 上の (連続、あるいは L^{∞}) 関数環 A は、 ℂ の (環としての) 直積 ℂ^{n} に等しい。ここに、 A の次元 n は M の点の個数である。有限群 G が M に作用しているとすると、 G は A にも作用し、 M/G 上の関数環は A^{G} (A の G-不変元全体のなす環) と同一視される。これが古典的な「不変式論」的立場である。

それにたいして、 [1] の立場では、 M/G 上の関数環 B を《G が生成する M 上の同値関係 ∼ のグラフ Γ 》と対応付けようとする。 M が有限個の点である今の場合には、行列を使って

B = {(a_{ij})_{1≤i,j≤n}|a_{ij} ∈ ℂ; a_{ij} ≠ 0 となるのは i ∼ j なる i, j に限る}

と書き表すことができる。

次のことは直ちに確かめられる。

• M の G-orbits を M_{1}, M_{2}, …, M_{k} とし、各 M_{i} の元の個数を n_{i} と書くことにすると、 B は行列環の直積 ∏_{i} M_{n_{i}}(ℂ) と同型である。

• B の中心は、 A^{G} と同型である。

• B は A^{G} と森田同値である。 (森田同値性の定義については、

(III+1/2) を参照のこと) これを見ると、 A^{G} の全ての情報を B は握っているので、場合によっ

ては B を用いる方が得策ではないか、と言うのもうなずける。

B のもう一つの見方は、 L^{2}(M) 上 A と G (の左作用) で生成された作用素環、としての見方である。 (これが上の B と一致することはすぐにわかる。 )

References

[1] A. Conne, Noncommutative geometry, Academic Press, 1994.