小さい数の話 俳句第二芸術論と言うのがあったらしい。 50音17文字で表す言葉には50^17通りという上限があって、 面白い俳句は早晩尽きてしまうだろうと言うのがその理由の一つであった。 一体、我々人類はどのくらいの理論を作り上げることができるのだろうか? aiueo の母音、kstn等の子音を全部寄せ集めても「一音」はせいぜい100 通りもないだろうが、画期的な言語が現れたとして、「一音」の数は 1兆通りと見積もっておこう。その一音を発音するのに要する時間は 少なく見積もっても1/100秒程度だろうが、これも言語の進化を見越して その一万分の一としておく。人間の寿命は1000年を越えないとすると、 人間の一生に語れる言葉の種類 N は多く見積もっても、 (一兆)^(100*1万*60*60*24*366*1000)<10^(10^19) 通りしかない。この評価に納得されない方がいたとしても、 N が 10^(10^(10^10)) より少ないということはお認め頂けると思う。 この中に物理法則は収まるのだろうか? もしも「この世を作った神様」が 物理法則を10^(10^(10^10))個以上作っていたとすると、 これはもうお手上げである。 一説には神は無限だそうだからこの仮定はそんなに想像しがたいことではない。 それにもかかわらずNewton 力学があんなにも簡潔な言葉で宇宙を (近似的にではあるが)記述するとは不思議なことである。 宇宙は我々にとって理解可能なのだろうか? ファインマンは参考文献[Feynmann2]の第一部の最後に、面白いことを言っている。 1. 物理法則はある時に完全に知り尽くされてしまうか、 あるいは 2. 我々の物理法則に関する知識は時が経つにつれて100%に 近くなっていくだろうけれども、100%になることはない かのどちらかであり、現在の状況は我々の知識がどんどん増えていく 極めて楽しい時代だというのだ。 言っていること自体は当り前ではあるけれども、 さすがによく考えられていると思うのだが、いかがだろうか。 早いもので、気付いたら 前回の Seminaire Bourdoki (以下 ERQ0 と略称)を書いてから、 既に半年以上も経ってしまった。 この半年の間に考えたことの一つに、ERQ0 に書いた 「集合論からの無限の逃避」 がある。 簡単に言えば、以下のようになる。 命題にその真理値 p を与えるのだが、そのときに Step 1. p として区間 [0,1] の任意の値をとらせたり、 (確率論ないしファジー論的。 (両者の違いはファジー理論に関する書物を見られたい)) あるいは複素数の値をとらす(量子論的) Step 2. (命題A の真理値は p である)の真理値は q である のように、真理値がいくらかということ自体が不確定な論理学 をかんがえる。 Step 3. ((命題A の真理値は p である)の真理値は q である)の真理値は.... とどんどん繰り返す。 と言うようなことを考えて、その「極限」にあたるような論理学はないものか、 と自問自答してみたのだ。 今のところ、よい答えは見付かっていない。 どのような理論 T も、結局 T は正しい T は正しくない のいずれかが判定できなければならないだろうし、 したがって T の中の命題はそのような「純粋に古典論的」な 命題から有限個のステップで結ばれなければならないだろう。 すなわち、人間から認識される理論には有限性に関する 大きな制約がある。 (有限性についての認識は Hilbert が公理的な構成を 導入した時から既に存在した。 Goedel (ウムラウトが出なくて申し訳ない)はそのような 有限の立場から得られる理論には「証明され得ないが正しい」 命題がつきものであることを示している。 それと同様の理由づけにより、 「ある時点で我々の知っている物理法則」から、 「真ではあるが知られていない他の有意義な物理法則」 が導出できない可能性が多分にある。すなわち、 「宇宙がこれこれの性質をもてば、我々の物理法則に関する知識は 常に不完全である。」 と言うような形の不完全性定理も可能であろう。) やはり、「純粋に古典的な」論理学から完全に 飛翔してしまうことはできないようである。 Wed Jul 16 JST 1997