代数学 A NO.15 要約

15. 環の定義編

この講義の二学期の前半では、次の定理の証明を目標とする。

定理 (環の準同型定理). 環 R から別の群 S への準同型写像 ϕ : R → S が与えられたとする。このとき、次が成り立つ。

(1) ϕ の像 Image ϕ は S の部分環である。

(2) ϕ の核 I = Ker ϕ は R のイデアルである。

(3) 剰余環 R/I は Image ϕ と同型である。

今日のテーマ《環の定義》環とは、足し算、引き算と掛け算ができる集合のことである。体とは、 0 以外の元による割り算ができる環のことである。

定義 15.1 (環の定義). 集合 R が環であるとは、足し算と呼ばれる写像

+ : R × R → R

と掛け算と呼ばれる写像

× : R × R → R

が定義されていて次の性質を満たす時に言います。

(1) R は足し算に関して可換群をなす。 (R の足し算に関する単位元を R の零元といい、 0 (時には 0_{R}) と書く。 )

(2) R の積は結合法則を満たす。

(3) R の足し算と掛け算は分配法則を満たす。すなわち、任意の a, b, c ∈ R に対して、次のことが成り立つ。

(a + b) × c = a × c + b × c, c × (a + b) = c × a + c × b

例 . 次のものは通常の足し算、掛け算によって環になる。 (1) 整数全体の集合 ℤ.

(2) 有理数全体の集合 ℚ.

(3) 実数全体の集合 ℝ.

(4) 実数を成分として持つ 2 次の正方行列全体 M_{2}(ℝ).

(5) 実数上の一変数多項式全体 ℝ[X].

定義 15.2 (環の単位元). R を環とする。 R の元 u が R の単位元 (詳しくは、乗法に関する単位元) であるとは、任意の R の元 a に対して、

au = ua = a

が成り立つ時に言う。

補題 . 環 R の単位元は、存在すればただ一つである。

今後、環 R の単位元が存在する時には、それを 1 (時には 1_{R}) と書く。

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定義 15.3 (逆元). R を単位元 1 をもつ環とし、 a をその一つの元とする。 R の元 b が a の逆元であるとは、

ba = ab = 1

を満たすときに言う

補題 . R を単位元 1 をもつ環とし、 a をその一つの元とする。この時、 a の逆元は、存在すればただ一つである。

補題 . 単位元 1 を持つ環 R が斜体であるとは、 R \ {0} の任意の元が逆元を持つ時に言う。

定義 15.4 (可換性). 環 R が可換であるとは、 R の任意の二つの元 a, b が可換である (すなわち ab = ba が成り立つ) 時に言う。可換な環を可換環と呼ぶ。可換な斜体を体と呼ぶ。

割り算の原理二学期後半の内容の下見として、次のような計算を考えよう

例題 1. A = (\begin{matrix}3 & 2 \\ −1 & 0 \end{matrix}) に対して、 A^{n} (n は正の整数) を求めよ。

(解) まず、ケーリー・ハミルトンの定理により

A^{2} − 3A + 2E = 0 (E は単位行列)

が成り立つことに注意する。つぎに、 X の多項式 X^{n} を X^{2}−3X +2(= (X − 1)(X − 2)) で割り算すると、 X^{n} = q(X)(X−1)(X−2)+(2^{n}−1)X+(−2+2^{n}) (q(X) は X の多項式) となるから、 A^{n} = q(A)(A^{2}−3A+2E)+(2^{n}−1)A+(−2+2^{n})E = (2^{n}−1)A+(−2+2^{n})E あとはこれを書き下せば良い (以下略)。ポイントとなるのはここに現れた「(行列の、多項式への) 代入」と「割り算」のテクニックである。

※レポート問題つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 )

(I) 環の例と、足し算・掛け算は\underline{うまく定義されている}けれども環にならない集合の例とを一つづつ挙げなさい。 (オリジナルであること)

(II) R を体とし、 a, b をその二つの元とします。このとき

x^{2} + ax + b = 0

をみたす R の元 x は高々二つしかないことを示しなさい。また、「R が体である」という仮定をやめて、 R = M_{2}(ℝ) としたら反例が構成できることを示しなさい。