代数学 A NO.16 要約

今日のテーマ《部分環の定義・「生成される部分環」》部分環とは、部分集合であって環になっているもののことである。

\underline{注意}これからは、とくにことわらない限り、単位元をもつ環のみを扱う。「環」といえば、単位元を持つ環と解釈していただきたい。 (単位元の存在がとくに重要な時には、一応ことわる。 )

定義 15.1 (環の定義).R が単位元をもつ環であるとする。 R の部分集合 S が R の部分環であるとは、 S が次の条件を満たす時にいう。

(1) S は R の足し算、かけ算を流用することにより環になっている。

(2) S は R の単位元を元として持つ。

上の条件のうち、 (1) が本質的部分であり、 (2) は冒頭で述べた注意に沿うための技術的条件である。ただし、 (2) をぬかしてしまうと理論は見かけ上かなり違った形になるので単位元のない環を扱う時 (がもしあればその時) には注意が必要である。

例. 次のものは複素数全体のなす環 ℂ の部分環である。 (1) 整数全体の集合 ℤ.

(2) 有理数全体の集合 ℚ.

(3) 実数全体の集合 ℝ.

(4) ℤ + \sqrt{−1}ℤ = \{x + \sqrt{−1}y; x, y ∈ ℤ\}.

例. 次のものは部分環の条件 (1) を満たすが条件 (2) を満たさないので ℂ の部分環では\underline{ない}。

(1) 3 の倍数全体 3ℤ.

(2) 4ℤ + 2\sqrt{−1}ℤ

例 (少し意欲的な諸君のため).M_{2}(ℝ) 部分集合 S を次のように決める。

\{(\begin{matrix}a & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}); a ∈ ℝ\}

S は部分環の条件 (1) を満たすが条件 (2) を満たさないので M_{2}(ℝ) の部分環では \underline{ない}。環 S はそれ自体単位元を持っているが、 M_{2}(ℝ) の単位元 (単位行列) を元として含まない。

定義 15.2 ( 「生成される部分環」 ). R を単位元を持つ環とし、 T をその部分集合とする。 R の部分環 S が T で環として生成されるとは、次の三つの条件が満たされる時にいう。

(1) S は T を部分集合として含む。

(2) S は R の部分環である。

(3) S は (1),(2) を満たす最小のものである。

補題. 単位元を持つ環 R と、その部分集合 T が与えられていたとする。このとき、 R の部分環 S で、 T で環として生成されるものがただ一つ存在する。 (S のことを T で生成される R の部分環といい、 ⟨T ⟩_{ring} と書く。注意

「部分環」の定義により、 ⟨T ⟩_{ring} は (T が何であっても) 常に R の単位元 1 を元としてもつ。しかし、単位元の存在を意識しておくために、以下では始めから T には R の単位元 1 が入ったものだけを考えることにする。

例. ℂ の部分集合 T と、それによって生成される ℂ の部分環 ⟨T ⟩_{ring} の例。 (1) T = {1} ⟹ ⟨T ⟩_{ring} = ℤ.

(2) T = \{1, \sqrt{−1}\} ⟹ ⟨T ⟩_{ring} = ℤ + ℤ\sqrt{−1}

(3) T = \{1, \sqrt{2}\} ⟹ ⟨T ⟩_{ring} = ℤ + ℤ\sqrt{2}

(4) T = ℚ ∪ \{\sqrt{2}\} ⟹ ⟨T ⟩_{ring} = ℚ + ℚ\sqrt{2}

(5) T = ℚ ∪ \{\sqrt[3]{2}\} ⟹ ⟨T ⟩_{ring} = ℚ + ℚ\sqrt[3]{2} + ℚ\sqrt[3]{4}

※レポート問題つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 )

(I) ℂ の部分環 S が、 1, \sqrt{2}+\sqrt{5} を元として持っているとする。この時、 2\sqrt{10}, 6\sqrt{2}, 6\sqrt{5}

も S の元であることを示しなさい。 (II) ℂ の、 \{1, \sqrt{2}, \sqrt{5}\} で生成される部分環は、

ℤ + ℤ\sqrt{2} + ℤ\sqrt{5} + ℤ\sqrt{10}

であることを示しなさい。 (III) M_{2}(ℝ) の、 {E, A} で生成される部分環を求めなさい。ただし、 E は単位行

列、 A は次のような二次行列とします。

A = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix})