代数学 A NO.16 要約

今日のテーマ《「環に元を付け加えてできる環」、多項式環。》環に、あらたに元を付け加えて大きな環を作ることができる。付け加えられる元がもともとどこかにあったものか、それとも不定元かに注意する必要がある。

定義 15.1. R が単位元をもつ環であるとし、 S をその部分環とする。 R の元 x_{1}, x_{2},…, x_{n} が与えられた時、 R の部分環 ⟨S, x_{1}, x_{2},…, x_{n}⟩_{ring} を

S[x_{1}, x_{2},…, x_{n}]

で表し、《(R の中で) S に x_{1}, x_{2},…, x_{n} を付け加えてできる環》とか、《(R の中で) \underline{S 上} x_{1}, x_{2},…, x_{n} 》で生成される環、という。

例. (1) ℂ のなかで ℚ 上\sqrt{7} で生成される環。

ℚ[\sqrt{7}] = ℚ + ℚ\sqrt{7}

(2) ℂ のなかで ℚ 上\sqrt{−1}で生成される環。

ℚ[\sqrt{−1}] = ℚ + ℚ\sqrt{−1}

(3) ℂ のなかで、 ℝ 上\sqrt{−1} で生成される環。

ℝ[\sqrt{−1}] = ℝ + ℝ\sqrt{−1} = ℂ

(4)

ℚ[\sqrt{2}, \sqrt{5}] = ℚ + ℚ\sqrt{2} + ℚ\sqrt{5} + ℚ\sqrt{10}

注意一般に R[x_{1}][x_{2}] = R[x_{1}, x_{2}] 等が成り立つ。

補題. R を単位元を持つ\underline{可換}環 R とする。いま、 R の部分環 S と R の元 x とが与えられていたとする。このとき、

R[x] = {∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}; n ∈ ℕ, a_{i} ∈ S} (★)

が成り立つ。

注意

(★) に現れている R[x] の元の表示 ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} は一意的なものではない。すなわち、 R[x] の一つの元が複数の表示を持ち得る。たとえば、 R = ℂ, S = ℚ, x = \sqrt{2} のとき、

x^{2} + 3x + 6(= 8 + 3\sqrt{2}) = 3x + 8 = x^{3} + 3x = …

等々。

定義 15.2 (多項式環の定義).R を単位元を持つ可換環とする。このとき、 R 上の (不定元 X を変数とする) 一変数多項式環とは、 R 上の (不定元 X を変数とする) 一変数多項式

∑_{i=0}^{n} a_{i}X^{i} (n ∈ ℕ, i ∈ R)

の全体に多項式としての足し算、引き算、かけ算を入れたものである。これを R[X] とかく。注意

一般に、不定元には大文字を用いる (ことが多い)。注意 2

上の定義は、「付け加えてできる環」のところででてきた記号と整合性がある。すなわち、 R[X] は R を部分環として含み、 R 上 X で生成されている。

※レポート問題つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 )

(I) (a) x = (3 + \sqrt{5})/2 とおく。このとき x^{4} を ax + b (a,b は自然数) の形に

直しなさい。

(b) x = (3 + \sqrt{7})/2 とおく。このとき x^{2} を ax + b (a,b は整数) と書き直すことは不可能であることを示しなさい。

(この問題は x が ℤ 上どのような関係式を満たすか樋いう問題に関係している。 )

(II) (ℂ の中で考えて、 )

ℚ[\sqrt{3} + \sqrt{5}] = ℚ[\sqrt{3}, \sqrt{5}] = ℚ + ℚ\sqrt{3} + ℚ\sqrt{5} + ℚ\sqrt{15}

であることを示しなさい。 (III) (ℂ の中で考えて、 )

(a)

ℤ[ω] = ℤ + ℤω

であることを示しなさい。但し、 ω = (−1 + \sqrt{−1})/2 とします。

(b) x = \sqrt{−1}/2 とします。このとき、

ℤ[x] ≠ ℤ + ℤx

であることを示しなさい。