代数学 A NO.19 要約

今日のテーマ《イデアル、生成されるイデアル》 {0} の持つ性質を一般化してイデアルというものを考えることが出来る。

定義 18.1. R が単位元をもつ環であるとし、 I をその部分集合とする。 I が R のイデアルであるとは、次の条件が成り立つときにいう。

(1) I は (R, +) の部分群である。すなわち、 I は R の加・減法について閉じている。

(2) I の元に R の元を右から掛けても左から掛けてもやっぱり I の元になる。すなわち、任意の x ∈ I と任意の r ∈ R について、

rx ∈ I, xr ∈ I

が成り立つ。

注意

簡単にわかることだが、環 R のイデアルが 1 を含むのは、それが R 自身に一致する時に限る。だから、大抵の場合、イデアルは 1 を含まないものだと決めてかかって良い。

例 (イデアルの例). (1) 任意の環 R に対して、 {0} は R のイデアルである。 (2) 10ℤ は ℤ のイデアルである。

(3) Xℂ[X] は ℂ[X] のイデアルである。

例 (イデアルでない例). (1) ℂ の部分集合 ℤ は ℂ のイデアルではない。 (2) ℂ[X] の部分集合 ℂX は ℂ[X] のイデアルではない。

(3) M_{2}(ℂ) の部分集合 T を、

T = \{(\begin{matrix}a & b \\ 0 & 0 \end{matrix}); a, b ∈ ℂ\}

で定義したものは、 M_{2}(ℂ) のイデアルではない。

補題. f : R → S を環の間の準同型とする。このとき、 f の核 Ker f(= {x ∈ R; f(x) = 0}) は、 R のイデアルである。

例. f : ℂ[X] → ℂ を、 f(p) = p(10) で定義すると、これは環準同型であり、その核は (X − 10)ℂ[X] となる。上の補題により、 (X − 10)ℂ[X] は ℂ[X] のイデアルである。

例.

A = (\begin{matrix}4 & 0 \\ 0 & 5 \end{matrix})

とし、 ℂ[X] から M_{2}(ℂ) への写像を、

p ↦ p(A)

で定めると、これは準同型写像になり、その準同型の核は、 {p; p(4) = 0 かつ p(5) = 0} となる。上の補題により、これは ℂ[X] のイデアルである。

定義 18.2. R を単位元をもつ環、 T をその部分集合とする。この時、 T を含む最小のイデアルを、 (R のなかで) T によって生成されるイデアルと呼び、普通 (T) とかく。

補題. 任意の環 R とその任意の部分集合 T とについて、 T を含む最小のイデアル (すなわち、 T で生成されるイデアル) は存在する。

例. (1) ℤ の中で、 {15, 20} で生成されるイデアルは、 5ℤ である。 (2) ℤ[X] の中で、 {15, 20} で生成されるイデアルは、 5ℤ[X] である。

(3) ℤ[X] の中で、 {5, X} で生成されるイデアルは、

{p ∈ ℤ[X]; p の定数項は 5 の倍数}

である。

※レポート問題つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 )

(I) (i) ℤ[X] のイデアルの例と、 (ii) ℤ[X] の部分集合で、加法、減法については閉

じているがイデアルではないものの例をあげなさい。 (オリジナルであること) (II) X, Y を変数とする ℤ 係数二変数多項式環 ℤ[X, Y] の中で、イデアルの間の

等式

(X − Y^{5}, Y + 7X^{2} − 7XY^{5}) = (X, Y)

が成立することを示しなさい。 (III) M_{2}(ℂ) の中で、

A = (\begin{matrix}5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix})

で生成されるイデアル (A) が M_{2}(ℂ) に一致することを示しなさい。