代数学 A NO.21 要約

今日のテーマ《環の準同型定理》

定理 (環の準同型定理).R, S は単位元をもつ環であるとし、それらの間の準同型写像 f : R → S が与えられているとする。このとき、

(1) f の像 Image f は S の部分環である。

(2) f の核 Ker f は R のイデアルである。

(3) 剰余環 R/ Ker f は Image f と同型である。

例 (準同型定理使用の基本例１).ℂ[X] から ℂ への写像 f を、

f(p) = p(0)

で定めると、次のことが分かる。

(1) f は環の準同型である。

(2) f の像は ℂ 全体である。

(3) f の核は (X) である。よって、準同型定理により、

ℂ[X]/(X) ≅ ℂ

が結論される。

例 (準同型定理使用の基本例２).ℤ/100ℤ から ℤ/10ℤ への写像 f を、 f([n]) = n̄ ([n], n̄ はそれぞれ ℤ/100ℤ, ℤ/10ℤ における n の同値類) で定めると、次のことが分かる。

(1) f は写像としてうまく定義されている。すなわち、 f の定義は代表元のとり方によらない。

(2) f は環の準同型である。

(3) f の像は ℤ/10ℤ 全体である。

(4) f の核は 10ℤ/100ℤ である。よって、準同型定理により、

(ℤ/100ℤ)/(10ℤ/100ℤ) ≅ ℤ/10ℤ

が結論される。

例 (準同型定理の応用例１).ℤ[X] から ℤ[\sqrt{14}] への写像 f を、

f(p) = p(\sqrt{14})

で定めると、次のことが分かる。

(1) f は写像としてうまく定義されている。すなわち、 f の像は ℤ[\sqrt{14}] からはみ出さない。

(2) f は環の準同型である。

(3) f の像は ℤ[\sqrt{14}] 全体である。

(4) f の核は (X^{2} − 14) である。

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よって、準同型定理により、

ℤ[X]/(X^{2} − 14) ≅ ℤ[\sqrt{14}]

が結論される。

例 (準同型定理の応用例２).A ∈ M_{2}(ℂ) を、

A = (\begin{matrix}1 & 3 \\ 5 & 7 \end{matrix})

で定め、 ℂ[X] から M_{2}(ℂ) への写像 f を、

f(p) = p(A)

で定めると、次のことが分かる。

(1) f は環の準同型である。

(2) f の像は

ℂ[A] = ℂA+ℂE = \{kA+lE; k, l ∈ ℂ\} = \{(\begin{matrix}k + l & 3k \\ 5k & 7k + l \end{matrix}); k, l ∈ ℂ\}

である。

(3) f の核は (X^{2} − 8X − 8) である。よって、準同型定理により、

ℂ[X]/(X^{2} − 8X − 8) ≅ ℂ[A](= ℂA + ℂE)

が結論される。

※レポート問題つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 ) (I) 準同型定理使用の基本例 2 で、 ℤ/100ℤ の元 (100 個ある) が f に

よって ℤ/10ℤ のどの元に写されるかをあらわす表を作りなさい。 (II) 環としての同型 ℝ[X]/(X^{2}+1) ≅ ℂ が存在することを示しなさい。 (III)

A = (\begin{matrix}7 & 4 \\ −5 & −2 \end{matrix})

と置くとき、

(a) ℂ[A] ≅ ℂ[X]/(X^{2} − 5X + 6) であることを示しなさい。

(b) ℂ[X]/(X^{2} − 5X + 6) の 0 でない零因子を一つあげなさい。 (c) ℂ[A] の 0 でない零因子を一つあげなさい。