代数学 A NO.22 要約

二学期後半のテーマ整数環と一変数多項式環の諸性質二学期の後半は、整数環 ℤ と一変数多項式環 k[X] (k は体) の性質について詳しく調べる。特にこの二種類の環の類似性に注意したい。 k[X] の研究の応用として、行列のジョルダンの標準形についても触れる。

今日のテーマ《割り算の原理 (ユークリッド整域)》 ℤ と k[X] の二つにまず共通して言えることは、どちらも「余りの

ある割り算」が出来ることである。

余りのある割り算なら出来るのが当たり前のことに思えるかも知れない。しかし、たとえば ℤ[X] の中で考えて X^{2} を 2X + 1 で割った余りは？ ℂ[X, Y] の中で考えて X^{3} + Y^{3} を XY + 1 で割った余りは？

などと聞かれると困ってしまう。ポイントは、「どこで割り算が終ったか分かるような尺度があるかどうか」という点にある。そこで次のような定義をする。

定義 21.1. 整域 R がユークリッド整域 (Euclidian domain:ED) であるとは、整列順序集合 W と写像 ρ : R → W ( 「重さ」を調べる写像) があって、次の性質を満たすときに言う

1. R の元 a の「重さ」 ρ(a) が最小 ⇔ a = 0

2. R の元 a, b (a ≠ 0) に対して、

b = aq + r, q, r ∈ R, ρ(r) < ρ(a)

となる q, r が存在する。

( 「W が整列集合である」とは、「W の任意の部分集合 X は最小元を持つ」ということである。この定義が難しく感じられる諸君には W = ℕ と思っても実用上は充分である。 )

補題 (ユークリッド整域の基本例).ℤ, k[X] (k は体) はともにユークリッド整域である。

割り算の原理としては次のこともよく使う。

補題 (モニックな多項式による割り算).R を単位元を持つ可換環とする。 R[X] の元 a がモニックならば、任意の b ∈ R[X] に対して、

b = aq + r, q, r ∈ R, deg(r) < deg(a)

となる q, r ∈ R[X] が存在する。

定義 21.2. R が単位元をもつ可換環であるとする。 R のイデアル I が単項イデアルであるとは、 I がある一つの元 a ∈ R で生成されるときに言う。 R が整域で、そのすべてのイデアルが単項イデアルであるとき、 R を単項イデアル整域 (principal ideal domain, PID) という。

定理 . ユークリッド整域は単項イデアル整域である。

2 代数学 A NO.22

系 . 整数 a, b が与えられているとし、その最小公約数を d とおく。このとき、

al + bm = d

をみたす整数 l, m が存在する。

系 . k を体とする。 k 上の多項式 a, b が与えられているとし、その最小公約数を d とおく。このとき、

a(X)l(X) + b(X)m(X) = d(X)

をみたす k 上の多項式 l, m が存在する。

実際に l, m を計算するには、次のような方法が便利である。

例題 1 (ユークリッドの互除法).等式

72l + 56m = 8

を満たす整数 l, m の組を一組求めよ。

(解答) まず次のような計算を行なう

72÷56 = 1 余り 16  72 =56 × 1+16  (\begin{matrix}72 \\ 56 \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}56 \\ 16 \end{matrix})
56÷16 = 3 余り 8  56 =16 × 3+ 8  (\begin{matrix}56 \\ 16 \end{matrix}) = (\begin{matrix}3 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}16 \\ 8 \end{matrix})
16÷ 8 = 2 余り 0  16 = 8 × 2+ 0  (\begin{matrix}16 \\ 8 \end{matrix}) = (\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}8 \\ 0 \end{matrix})

各々の行の行列算を組み合わせると、

(\begin{matrix}72 \\ 56 \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}3 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}8 \\ 0 \end{matrix})

を得る。この式の右辺に現れる正方行列はすべて M_{2}(ℤ) の元として可逆であることに注意して、上の式を次のように変形することが出来る。

(\begin{matrix}8 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})^{−1} (\begin{matrix}3 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})^{−1} (\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})^{−1} (\begin{matrix}72 \\ 56 \end{matrix})

= (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & −2 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & −3 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & −1 \end{matrix}) (\begin{matrix}72 \\ 56 \end{matrix}) = (\begin{matrix}−3 & 4 \\ 7 & 9 \end{matrix}) (\begin{matrix}72 \\ 56 \end{matrix})

この式の第一行に着目すると、 8 = (−3) × 72 + 4 × 56 を得る。 (答え) l = −3, m = 4.

※レポート問題つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 ) (I) 等式

(X^{3} + 1)f(X) + (X^{2} + X + 1)g(X) = 1

を満たす多項式 f, g ∈ ℂ[X] の組を一組見つけなさい。 (II) ℤ[\sqrt{−1}] はユークリッド環であることを示しなさい。 (ヒント： ρ と

しては《絶対値》を考え、 q としては b/a にもっとも近いℤ[\sqrt{−1}] の元をとりなさい。 (|b/a − q| ≤ \sqrt{2}/2 に出来る筈です。 ))