代数学 A NO.23 要約

今日のテーマ《九去算など。》今回は剰余環に馴染んで頂くことを目的とする。 ℤ/9ℤ, ℤ/11ℤ, ℂ[X]/(X−

1) の類似性に注目して欲しい。

例題 1. 199611271 を 9 で割った余りを求めよ。

(解答) 整数 n の ℤ/9ℤ におけるクラス (剰余類) を n̄ と書くことにする。一般に、\overline{10} = \overline{1} であることに注意すると、

\overline{10}^{k} = \overline{1} (k ∈ ℤ_{>0})

というという等式が成り立つことがわかる。これを用いると、

\overline{199611271} = \overline{1 × 10^{8} + 9 × 10^{7} + 9 × 10^{6} + 6 × 10^{5}}
\overline{+1 × 10^{4} + 1 × 10^{3} + 2 × 10^{2} + 7 × 10^{1} + 1}
=\overline{1} × \overline{10}^{8} + \overline{9} × \overline{10}^{7} + \overline{9} × \overline{10}^{6} + \overline{6} × \overline{10}^{5}
+ \overline{1} × \overline{10}^{4} + \overline{1} × \overline{10}^{3} + \overline{2} × \overline{10}^{2} + \overline{7} × \overline{10}^{1} + \overline{1}
= \overline{1} + \overline{9} + \overline{9} + \overline{6} + \overline{1} + \overline{1} + \overline{2} + \overline{7} + \overline{1}
= \overline{1 + 9 + 9 + 6 + 1 + 1 + 2 + 7 + 1}
= \overline{37} = \overline{3 × 10 + 7} = \overline{3 + 7} = \overline{10} = \overline{1 + 0} = \overline{1}

を得る。 (答え) 1 (注意) 九去算は計算機のない時代に、計算の確かめの目的で使われた。現在でも、占い等で名残を見かけることがある。見かけたときはニヤリとして欲しい。

例題 2. 123456789 を 11 で割った余りを求めよ。

整数 n の ℤ/11ℤ でのクラスを n̄ と書くことにする。今度は、

\overline{10} = \overline{−1}

という等式が成り立つことに注意する。前問と同様に計算すると、

\overline{123456789} = \overline{9 − 8 + 7 − 6 + 5 − 4 + 3 − 2 + 1}
= \overline{1 + 1 + 1 + 1 + 1} = \overline{5}

を得る。 (答え) 5

例題 3. 11, 101, 1001, 10001, 100001, … という数列を考える。この数列に現れる数のうち、 11 で割れるのはどのようなものか。

(解答) [前問をヒントにすればこれはとても易しい。 ] (答え) 奇数番目に現れるもの。

系 . 1001 は 11 で割り切れる。 (実際、 1001 = 11 × 7 × 13 である。 )

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(注意) 1001 が 13 で割り切れることから、 ℤ/13ℤ において、

\overline{1000}(= \overline{1001 − 1}) = \overline{−1}

が成り立つことがわかる。これを使うと整数を 13 で割った余りを求めるのがちょっぴり楽になる。たとえば、 98765 を 13 で割った余りは、 765 − 98 = 667 を 13 で割った余りに等しい。

九去算の原理は次の定理の証明にも使える。

定理 (剰余の定理). k を体とする。 k の任意の元 a と k 上の任意の多項式 p ∈ ℂ[X] にたいして、 p を (X − a) で割った余りは、 p(a) に等しい。

※レポート問題つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 ) (I) 135798642 × 9864213579 を 11 で割った余りを求めなさい。 (理由

も明記すること) (II) 同型 φ : ℂ[X, Y]/(Y − X^{2}) → ℂ[X] が存在することを示し、

φ(X^{3} + XY + Y^{2}) を求めなさい。