代数学 A NO.24 要約

今日のテーマ《素イデアル、極大イデアル》素イデアルとは、それによる剰余環が整域であるようなイデアルのことである。極大イデアルとは、それによる剰余環が体であるようなイデアルのことである。

定義 23.1. 単位元をもつ環 R を考える。 R 自身は R のイデアルであるが、それ以外の R のイデアルのことを R の真のイデアルという。 (いいかえると、真のイデアルとは、真部分集合であってイデアルでもあるもののことである。 )

補題 23.1. R が単位元をもつ環ならば、 R のイデアル I について、次のことは同値である。

1. I は R の真のイデアルである。

2. I は R の単位元を含まない。

定義 23.2. R は単位元をもつ可換環であるとする。 R の真のイデアル I が R の素イデアルであるとは、 R/I が整域であるときに言う。

「素イデアル」という名前は、それが素数の概念の拡張であることに由来する。

例 23.1 (ℤ の素イデアル). 正の整数 n について、 1. n が素数ならば、 nℤ は ℤ の素イデアルである。

2. n が素数でなければ、 nℤ は ℤ の素イデアルではない。

例 23.2 (その他の素イデアルの例・反例).

1. 0 は ℤ のイデアルである。いっぱんに、\underline{整域} R に対して、 R のイデアル 0 は R の素イデアルである。

2. ℂ[X, Y] のイデアル (Y) は ℂ[X, Y] の素イデアルである。

3. ℂ[X, Y] のイデアル (X, Y) は ℂ[X, Y] の素イデアルである。

4. ℂ[X, Y] のイデアル (X, X^{2} + Y^{2}) は ℂ[X, Y] の素イデアルでは \underline{ない}。

補題 23.2. R のイデアル I が素イデアルであるためには、次のことが成り立つことが必要十分である。

∀a∀b ((a, b ∈ R, ab ∈ I) ⟹ (a ∈ I またはb ∈ I))

定義 23.3. 単位元をもつ可換環 R の元 x が 0 と異なり、かつ (x) が R の素イデアルのとき、 x を R の素元という。

例 23.3. 2, 3, 5, 7, −2, −11, −23 等は ℤ の素元である。 X は ℂ[X] の素元である。

定義 23.4. R は単位元をもつ可換環であるとする。 R の真のイデアル I が極大イデアルであるとは、 I を部分集合として含むような R の真のイデアルが存在しないときに言う。例 23.4. p が素数のとき、 pℤ は ℤ の極大イデアルである。

補題 23.3. R のイデアル I が極大イデアルであるためには、 R/I が体であることが必要十分である。とくに、極大イデアルは必ず素イデアルである。

注意

「極大イデアル」という名称のため、その定義は定義 23.4 で行なうのが普通であるが、始めに覚えて欲しいのはむしろ「割って体になる」という特徴付けの方である。

例 23.5 (極大イデアルの例・反例).

1. ℂ[X] のイデアル (X) は極大イデアルである。

2. ℂ[X, Y] のイデアル (X, Y) は極大イデアルである。

3. ℂ[X, Y] のイデアル (X) は素イデアルであるが極大イデアルではない。

剰余環のイデアルがどのくらいあるか調べるには、次の補題が有効である。

補題 23.4. R を単位元をもつ環、 I をそのイデアルとする。このとき、《R/I のイデアル》は《R のイデアルで、 I を含むもの》と一対一に対応する。

次の補題は簡単であるが、常識として覚えておいた方がいい。

補題 23.5. 単位元をもつ可換環 R の元 a, b に対して、次の二つは同値である。

1. イデアルの包含関係 (a) ⊂ (b) がある。

2. a は b の倍元である。すなわち、ある c ∈ R があって、 a = bc が成り立つ。

※レポート問題つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 ) (I) (¯2) は ℤ/100ℤ の素イデアルであることを示しなさい。 (II) 5, 7 はそれぞれ ℤ[\sqrt{−1}] の素元かどうかを理由をつけて言いな

さい。 (III) ℚ[X] のイデアル (X^{2} + 5) は ℚ[X] の極大イデアルであることを

示しなさい。