代数学 A NO.24 要約

今日のテーマ《PID は素元分解環である》 PID でのイデアルを扱うには、整数の (公) 約数、 (公) 倍数を扱う要領でやればよい。その原理の応用として、 PID では、「素因数分解」が出来ることをしめす。

PID (Principal Ideal Domain) とは、そのすべてのイデアルが単項イデアルであるような整域のことであったことを思い出しておく。

(単項イデアル=一つの元で生成されるイデアル。 )

まず、

2 = (−1) × (−2)

のような無用の分解を避けるために、 ±1 に類するものを特別扱いすることにする。

定義 23.1. R は単位元をもつ環であるとする。 R の元のうち、積に関して可逆なものの全体を R^{×} であらわす。

R^{×} = {x ∈ R; ∃y ∈ R に対してxy = yx = 1 が成り立つ}

補題 23.1. 単位元をもつ可換環 R の元 x について、次は同値である。 1. x ∈ R^{×}

2. (x) = R

定義 23.2. 単位元をもつ可換環 R が素元分解環であるとは、 R の任意の元 x について、次のいずれかが成り立つときに言う。

1. x=0

2. x ∈ R^{×}

3. x は R の素元の積に分解される。

例えば、 ℤ ,ℂ[X] は素元分解環である。もっと一般に、次のことが成り立つ。

定理 23.1. R が PID ならば、 R は素元分解環である。

この定理の証明はいくつかの段階にわかれる。

定義 23.3. R は単位元をもつ可換環であるとする。 R の元 x が既約であるとは、

∀y∀z(y, z ∈ R, yz = x ⟹ (y ∈ R^{×} または z ∈ R^{×}))

のときに言う。

補題 23.2. R は単位元をもつ可換環であるとする。このとき、 1. R の素元は、必ず既約である。

2. R の既約元は、必ずしも素元とは限らない。

3. \underline{R が PID ならば}、 R の既約元は必ず素元である。

2 代数学 A NO.24

上の補題により、 PID R の元 x を素因数分解する手順は次のようになる。

1. x = 0 または x ∈ R^{×} ならば、おしまい。

2. x が素元ならば、やはりおしまい。

3. それ以外なら、 x = yz (y, z ∈ R \ R^{×}, y, z ≠ 0) と分解できる。

4. y, z について同様のことをする。 (例えば y, z が素元でなければ、 y = y_{1}y_{2} となる。 )

5. 繰り返す。あとの問題は、一つの元が無限に分解されていかないか、というこ

とである。これを解決するのには、次の補題を用いればよい。

補題 23.3. R は PID であるとする。このとき、 R の元の列{x_{i}}_{i=0,1,2,3,4,...} で、 (x_{0}) ⫋ (x_{1}) ⫋ (x_{2}) ⫋ (x_{3}) ⫋ … (☆) を満たすものは、存在しない。

※レポート問題つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 ) (I) 補題 23.3 の包含関係 (☆) の “⫋” を全て “⫌” に置き換えたも

のが成り立つようなℤ の元の列 {x_{i}}_{i=0,1,2,3,...} の例を一つあげなさい。

(II) 単位元をもつ可換環 R に対して、次のことを示しなさい。 (a) R^{×} は乗法に関して群をなす。

(b) R に次のような同値関係をいれることが出来る。 x ∼ y ⇔ (∃u ∈ R^{×} に対してx = uy が成り立つ) (この同値関係で同値な二つの元を、\underline{同伴な}二つの元と呼ぶ。 )

(c) x が y の倍元で、 y が x の倍元でもあるなら、 x と y とは同

伴である。 (III) 単位元をもつ可換環 R が与えられているとし、 p, p_{1}, p_{2}, p_{3} … p_{k}

は全て R の素元であるとする。このとき、もし x = p_{1}p_{2} … p_{k} が p の倍元であれば、 p_{1}, p_{2}, …, p_{k} のうちどれか一つは必ず p と同伴であることを示しなさい。 (同伴の定義は前問参照。但し、前問に答えることは要求しない。 (前問の結果は仮定してよい。 ))

(IV) ℤ[\sqrt{−1}] はユークリッド環、したがって素元分解環である。 (証明不要) そこで、 z = 16 + 63i を ℤ[\sqrt{−1}] において素元分解せよ。 (ヒント: まず zz̄ の素因数分解を試みよ。素因数分解の一意性を信じれば、いろんな数の共通因数が求めたくなる筈である。そういうときはユークリッドの互除法を用いよ。最後に、数が本当に素元であるかどうか知りたいときには、

x = yz ⟹ xx̄ = yȳzz̄
⟹ |x|^{2} は |y|^{2} と |z|^{2} の積に分解される

ということをうまく用いよ。 )