代数学 A NO.27 要約

27. 応用：行列の対角化

今日のテーマ《行列の対角化》行列を対角化しておくと、その行列を扱うときにいろいろ楽になる。行列の最小多項式が重根をもたなければ、その行列は対角化できる。

定義 27.1 (行列の最小多項式).A は ℂ 上の n 次正方行列であるとする。このとき、 A の最小多項式とは、次のような条件を満たす p ∈ ℂ[X] のことを言う。

1. p(A) = 0 かつ、 p ≠ 0

2. p は上の性質を満たす多項式のうちで、次数が最小である。

補題 27.1. A ∈ M_{n}(ℂ) とする。このとき、 1. A の最小多項式は存在する。 (この補題ではこれを以下 p と書く。 )

2. q ∈ ℂ[X] が等式 q(A) = 0 を満たせば、 q は p で割り切れる。

3. 環としての同型 ℂ[A] ≅ ℂ[X]/(p) が存在する。

前回の話を使うと、 ℂ[X]/(p) はかなり簡単な形に直せる。

補題 27.2. p ∈ ℂ[X] が、 p = (X − a_{1})(X − a_{2})(X − a_{3}) · · · · · (X − a_{m}) と因数分解されたとする。このとき、もし、 a_{1}, a_{2}, …, a_{m} のどの二つも相異なれば、

1. 同型

ℂ[X]/(p) ≅ ℂ[X]/(X − a_{1}) ⊕ (X − a_{2}) ⊕ ⋯ ⊕ ℂ[X]/(X − a_{m})
≅ ℂ ⊕ ℂ ⊕ ℂ ⊕ ⋯ ⊕ ℂ (m 個の直和)

が存在する。

2. 上の同型は、実は

ℂ[X]/(p) ∋ [r] ↦ (r(a_{1}), r(a_{2}), r(a_{3}), …, r(a_{n})) ∈ ℂ ⊕ ℂ ⊕ ⋯ ⊕ ℂ

で与えられる。

定理 27.1. A ∈ M_{n}(ℂ) とする。もし、 A の最小多項式が上の定理の条件を満たせば、

1. 同型

ℂ[A] ≅ ℂ ⊕ ℂ ⊕ ⋯ ⊕ ℂ 有限個の直和

が存在する。

2. 上の同型は、実は

ℂ[A] ∋ r(A) ↦ (r(a_{1}), r(a_{2}), r(a_{3}), …, r(a_{n})) ∈ ℂ ⊕ ℂ ⊕ ⋯ ⊕ ℂ

で与えられる。

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3. 上の同型で、 (0, 0, …, 0, 1, 0, …, 0) (i 番目が 1 で残りは全て 0)

に対応する M_{n}(ℂ) の元を P_{i} と書くと、等式 AP_{i} = a_{i}P_{i}

E = P_{1} + P_{2} + P_{3} + ⋯ + P_{n}

が成り立つ。

4. P_{i} の列ベクトル v は全て《A の固有値 a_{i} に属する固有ベクト

ル》である。すなわち、

Av = a_{i}v

が成り立つ。

5. A の固有ベクトルの n 個の組 (v_{1}, v_{2}, v_{3}, …, v_{n}) で、一次独立な物が存在する。

6. A は対角化可能である。すなわち、ある可逆な n 次正方行列 Q が存在して、 Q^{−1}AQ は対角行列になる。

※レポート問題つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 ) なお、以下では行列の要素は全て複素数であるとします。 (I) 行列

A = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix})

を対角化せよ。 (すなわち、 Q^{−1}AQ が対角行列になるような可逆二次行列 Q をもとめ、 Q^{−1}AQ を実際計算せよ。 ) (注意：答えは余りきれいではない。 )

(II) (a) A ∈ M_{n}(ℂ) と、 Q ∈ M_{n}(ℂ) が与えられているとする。さらに、 Q は逆行列をもつと仮定する。このとき、 Q^{−1}AQ の最小多項式と A の最小多項式は一致することを示しなさい。

(b) 対角化可能な行列の最小多項式 p は重根をもたない (i.e. p は

(X − a)^{2} の形の因数をもたない) ことを示しなさい。 (III) 対角化可能でない二次行列の例を一つあげなさい。 (前問を証明な

しに用いてもよい。 )