代数学 A NO.10 要約

10. 集合の準同型定理編

今日のテーマ《準同型定理の基本的なアイディア》次回に解説する群の準同型定理は、写像に関するとても簡単な考察が中心的な役割を果たしている。今回はその中心的なアイディアを取り出して解説する。今回は群とは直接は関係なく理解できる話である。この話は実は二学期でも用いられる大事な事項である。

定理. 「集合の準同型定理」集合 X から集合 Y への写像 f が与えられているとする。このとき、

(1) X の上の二項関係 ∼ を、

x_{1} ∼ x_{2} ⇔ f(x_{1}) = f(x_{2})

で定義すると、 ∼ は X 上の同値関係を与える。

(2) X/ ∼ から Y への写像 f̄ を、

f̄([x]) = f(x)

で定義すると、 f̄ は代表元の取りかたによらずにうまく定義される。

(3) 上の f̄ は単射である。

もう一つ、当たり前の補題を挙げておこう

補題. f : X → Y を集合の間の写像とし、 f の像を Image f とかく。このとき、 f は X から Image f への全射を誘導する。

上の定理に付け加えて、次の事柄も「集合の準同型定理」という名で呼ばれる

系. 定理の仮定のもとで、 f は X/ ∼ から Image f への全単射を与える。

※レポート問題つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 )

(I) X, Y, ∼ の具体的な例を与え、集合の準同型定理の内容がその場合にはどう

いう意味になるのか解説しなさい。 (II) 集合の準同型定理がなぜ成り立つのか、自己流の説明をつけなさい。（少なく

とも周りの友達に十分納得していただける説明にすること。 )

2 代数学 A NO.10

紙面が余ったので、「生成される部分群」の復習として、問題を幾つか載せておきます。力だめししてください。 (これはレポートではありません。 ) 問題 1. C_{21} = ⟨a; a^{21} = e⟩ の、 a^{5} で生成される部分群を求めなさい。問題 2. C_{30} = ⟨a; a^{30} = e⟩ の、 a^{4} で生成される部分群を求めなさい。問題 3. C_{360} = ⟨a; a^{360} = e⟩ の、 {a^{8}, a^{12}} で生成される部分群を求めなさい。問題 4. GL_{2}(ℝ) の、 B = (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) で生成される部分群を求めなさい。

問題 5. GL_{2}(ℝ) の、 B = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) で生成される部分群を求めなさい。問題 6. 群 G の部分集合 S が、

gSg^{−1} ⊂ S

を満たすなら、 S で生成された G の部分群 ⟨S⟩ は G の正規部分群である事を示しなさい。

できれば、紙面をにらんだだけで全部解けるようになって欲しいものです。