代数学 A NO.11 要約

11. 群の準同型定理編

今日のテーマ《群の準同型定理の証明・巡回群の記述》ついに、群の準同型定理の証明をする。今までの話についてこれた人には、易しい

ことである。準同型定理の最初の応用例として、巡回群の記述の問題を取り上げる。これはこれでとても重要な話である。

定理 (群の準同型定理).(再掲) 群 G から別の群 H への準同型写像 ϕ : G → H が与えられたとする。このとき、次が成り立つ。

(1) ϕ の像 Image ϕ は H の部分群である。

(2) ϕ の核 N = Ker ϕ は G の正規部分群である。

(3) 剰余群 G/N は Image ϕ と同型である。

• 解説。 ϕ はともかく写像なのだから、先週やった集合の準同型定理を用いると、 ϕ は、

G/ ∼ から Image ϕ への全単射 ϕ̄ を与えることが分かる。ここに、 ∼ は、

g_{1} ∼ g_{2} ⇔ ϕ(g_{1}) = ϕ(g_{2})

で定まる同値関係である。次の点がポイントになる。

(1) G が群であることなど、群論的な付帯状況から、 g_{1} ∼ g_{2} かどうかは、 g_{1} と g_{2} との「違いを表す量」 g_{1}g_{2}^{−1} を見れば分かることになる。

(2) あとは、 ϕ̄, Image ϕ 等が、群論的に良い性質を持つことをチェックすれば良い。それらはとても易しい。

定理 (巡回群の記述).G を一つの元 g で生成される巡回群とする。このとき、次のいずれか一方が成り立つ。

(1) G の位数は無限で、 G ≅ ℤ.

(2) G の位数は有限で、その位数を n とすると、 G ≅ ℤ/nℤ.

※レポート問題つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 )

(I) 写像 f : ℤ/21ℤ → ℤ/15ℤ を、

f(x̄) = [5x]

で定義します。 (¯?, [?] はそれぞれ整数 ? の ℤ/21ℤ, ℤ/15ℤ での同値類を表す。 ) このとき Ker f,Image f, (ℤ/21ℤ)/ Ker f がそれぞれどうなるかを元をすべて書き並べることにより示しなさい。 (II) 群の準同型 f : G → H が与えられているとします。 K が H の正規部分群な

らば、次のことが成り立つことを示しなさい。

(a) f^{−1}(K) は G の正規部分群である。

(b) f は G/(f^{−1}(K)) から H/K への単射準同型を誘導する。 (III) 群 G, H が与えられていて、その位数がそれぞれ m, n であったとします。こ

のとき、任意の群準同型 f : G → H について、 | Image f| は m, n の公約数であることを示しなさい。さらにこの考察を用いて、 ℤ/mℤ から ℤ/nℤ への準同型がいくつあるか決定しなさい。