代数学 A NO.12 要約

12. 《生成元と関係式》編

(復習と補遺)

n を正の整数とする。このとき、

(1) 正の整数 d が n の約数ならば、 dℤ は nℤ の部分群であり、 dℤ/nℤ は、 ℤ/nℤ の部分群とみなすことができる。

(2) (ℤ/nℤ)/(dℤ/nℤ) は ℤ/dℤ と同型である。

(3) ℤ/nℤ の部分群は、 (1) の形のものに限る。

系. 有限巡回群の部分群、剰余群はまた有限巡回群になる。

注意

剰余群と、部分群とは、本来全く別の種類のものである。たとえば ℤ の部分群は必ず dℤ の形であり、 d = 0 の時を除いて無限巡回群である。ところが、 ℤ の剰余群は ℤ/dℤ の形であり、 d = 0 の時を除いて有限巡回群である。とくに、

ℤ ≅ (ℤ/dℤ) × (dℤ)

である。 (復習と補遺終)

今日のテーマ《生成元と関係式》。群や、準同型の定義には、《生成元と関係式》を用いるのがしばしば有効である。《生成元と関係式》を\underline{厳密に取り扱う}ためには、自由群を用いるのが普通だが、そんなことよりも《生成元と関係式》が\underline{うまく使いこなせる} 方が重要である。

基本的な問題は次の定理に含まれている。

定理. G を任意の群とし、 n を正の整数とする。このとき、次のことが成り立つ。

(1) f が ℤ/nℤ から G への準同型であったとすると、 g = f(¯1) は g^{n} = e を満たす。すなわち、 g の位数は n の約数である。

(2) 逆に、位数が n の約数であるような G の元 h をとってくると、 ℤ/nℤ から

G への準同型 ϕ が、

ϕ(k̄) = h^{k} (k ∈ ℤ)

によって定まる。すなわち、 ℤ/nℤ から G への準同型写像の全体は、 G の、位数が n の約数である

ような元の全体と一対一に対応する。

次に自由群の定義とその性質について少し述べることにする。但し、論理的に完全な説明をつけると冗長になり、退屈なので、必要な部分のみを解説する。更に勉強したい人は教科書等で補っていただきたい。

定義 12.1 (自由群). n を正の整数とする。 n 個の元で生成され、その他に何も関係式を持たない群 ⟨X_{1}, X_{2},…, X_{n}⟩ を (n 個の元で生成された) 自由群という。自由群の元とは、 e, X_{1},…, X_{n}, X_{1}^{−1},…, X_{n}^{−1} を適当な順番に並べたものである。ただし、 X_{i}X_{i}^{−1} は e に置き換えられ、 W eW′ は W W′ に置き換えられる等の、群として当然の規則は持つものとする。

• 一つの元で生成される自由群は ℤ と同型である。

自由群は次の性質を持つ。

定理. G = ⟨X_{1},…, X_{n}⟩ を n 個の元で生成された自由群ととする。任意の群 G′ と G′ の任意の元 g_{1},…, g_{n} とに対して、次の性質を満たす準同型 f が一意的に存在する。

f(X_{i}) = g_{i} (i = 1, 2,…, n)

この定理が成り立つのは単に X_{1},… X_{n} に何の関係式もないからである。自由群は次のような用いられ方をする。

定理. G = ⟨A, B⟩ を二つの元で生成される自由群とし、 N は次のような元を含む最小の G の正規部分群であるとする。 (\underline{このようなものは存在する。} )

A^{n}, B^{2}, ABAB

このとき、 G/N は二面体群 𝔻_{n} と同型である。

自由群を用いれば、さまざまな群を生成元と関係式によって正確に記述することができるようになる。

定理. 群 G が与えられていて、その二つの元 g, h が

g^{n} = e, h^{2} = e, ab = ba^{−1}

を満たすと仮定する。このとき、次の性質を満たす 𝔻_{n} = ⟨a, b; a^{n} = e, b^{2} = e, ab = ba^{−1}⟩ から G への準同型写像 f が一意に存在する。

f(a) = g, f(b) = h

系. 次のような性質を満たす 𝔻_{n} から {±1} への準同型が一意に存在する。

f(a) = 1, f(b) = −1

※レポート問題つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 )

(I) 群 G が与えられていて、その元 g の位数が n (有限) であったとします。このとき、 ℤ/nℤ から G への\underline{単射}準同型 f が f(k̄) = g^{k} により定義されることを準同型定理を用いて示しなさい。

(II) ℤ/nℤ から ℤ/mℤ の準同型の個数を求めなさい。 (もちろん、理由の方が大切

なのであって、個数を求めるのはおまけみたいなものである。 ) (III) 𝔻_{n} = ⟨a, b; a^{n} = e, b^{2} = e, ab = ba^{−1}⟩ から (ℂ^{×}, ×) への準同型 f が与えられ

ているとします。このとき、

(a) f(b) ∈ {±1} であることを示しなさい。

(b) f(b)f(a)f(b^{−1}) を二とおりのやりかたで定義することにより、 f(a) ∈ {±1} であることを示しなさい。

さらに、この考察を用いて、 𝔻_{n} から (ℂ^{×}, ×) への準同型の個数がちょうど４個であることを示しなさい。