代数学 A NO.14 要約

14. 群の元の共役

• 共役 (きょうやく) 定義 14.1. (1) 群 G の元 g,h が与えられているとする。このとき、 g の h によ

る共役とは、 hgh^{−1}のことをいう。

(2) G 元 g_{1},g_{2} が与えられているとする。 g_{1} が g_{2} の共役であるとは、ある h ∈ G が存在して、 g_{1} = hg_{2}h^{−1} が成り立つときにいう。

共役を取り扱う時に、しばしば次の事実を用いる。定理. 群 G の元 h を固定する。このとき、 G から G への写像 f を、

f(g) = hgh^{−1}

で定めると、 f は同型写像になる。 (このようにして生じる同型を内部自己同型という。 ) 使用例：定理. 群 G の元 a, b が、関係式 ab = ba^{−1} を満たすとする。この時、

a^{k}b = ba^{−k}

がすべての整数 k について成り立つ。

次の定理は、「共役」のイメージを把握するのに良い材料になる。定理. n 個の元の置換 σ, τ が与えられているとする。このとき、 σ の τ による共役 τστ^{−1} は、 τ の表現にでてくるすべての文字 k をσ(k) で置き換えたものになる。

例. (1)
((1 2 4)(7 8))(1 2 3 4 5 6 7 8 9) ((1 2 4)(7 8))^{−1}
=(2 4 3 1 5 6 8 7 9)

(2)

((1 2 4)(7 8))(1 2 3)(4 5 6 7)(8 9) ((1 2 4)(7 8))^{−1}
=(2 4 3)(1 5 6 8)(7 9)

系. n 次の対称群 𝔖_{n} のなかで、すべての互換は互いに共役である。

試験予想問題写像 f : ℤ/21ℤ → ℤ/15ℤ を、

f(x̄) = [5x]

で定義します。 (¯?, [?] はそれぞれ整数 ? の ℤ/21ℤ, ℤ/15ℤ での同値類を表す。 ) このとき Ker f,Image f, (ℤ/21ℤ)/ Ker f がそれぞれどうなるかを示しなさい。 (予想者注：この問題はレポートで出したものです。本試験では出て来る数字は多分変わるでしょうね。とくに、

ℤ/1200ℤ ∋ x̄ ↦ [101x] ∈ ℤ/1515ℤ

のように、大きな数が出て来たらどうするか前もって考えておいて下さい。 ) (解答解説 (ローカに貼ってあるレポート解答例とほぼ同じものです。 ))

まず f が代表元の取りかたによらずうまく定義されていることを確かめる。 x̄ = x̄′ なら、ある整数 y があって、 x − x′ ∈ 21y と書ける。すると、

5x − 5x′ = 5(x − x′) = 5 · 21 · y = 15 · 7y

となって、 [5x] = [5x′] が結論される。ゆえに f は確かにうまく定義されている。つぎに、 ℤ/21ℤ と ℤ/15ℤ との元をすべて書き出して、どこからどこへの写像を考えているのか明確にしておく。

ℤ/21ℤ = \{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}, \overline{5}, \overline{6}, \overline{7}, \overline{8}, \overline{9}, \overline{10}, \overline{11}, \overline{12}, \overline{13}, \overline{14}, \overline{15}, \overline{16}, \overline{17}, \overline{18}, \overline{19}, \overline{20}\},
ℤ/15ℤ = {[0], [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14]}.

f によってどの元がどこに行くかの対応表を作ると、次のようになる。

\begin{aligned}\overline{0} ↦ & [0] & = & [0] \\ \overline{1} ↦ & [5] & = & [5] \\ \overline{2} ↦ & [10] & = & [10] \\ \overline{3} ↦ & [15] & = & [0] \\ \overline{4} ↦ & [20] & = & [5] \\ \overline{5} ↦ & [25] & = & [10] \\ \overline{6} ↦ & [30] & = & [0] \end{aligned}  \begin{aligned}\overline{7} ↦ & [35] & = & [5] \\ \overline{8} ↦ & [40] & = & [10] \\ \overline{9} ↦ & [45] & = & [0] \\ \overline{10} ↦ & [50] & = & [5] \\ \overline{11} ↦ & [55] & = & [10] \\ \overline{12} ↦ & [60] & = & [0] \\ \overline{13} ↦ & [65] & = & [5] \end{aligned}  \begin{aligned}\overline{14} ↦ & [70] & = & [10] \\ \overline{15} ↦ & [75] & = & [0] \\ \overline{16} ↦ & [80] & = & [5] \\ \overline{17} ↦ & [85] & = & [10] \\ \overline{18} ↦ & [90] & = & [0] \\ \overline{19} ↦ & [95] & = & [5] \\ \overline{20} ↦ & [100] & = & [10] \end{aligned}

Ker f は、 f で行った先が ℤ/15ℤ の単位元 [0] になるものの全体だから、上の表を見れば、

Ker f = \{\overline{0}, \overline{3}, \overline{6}, \overline{9}, \overline{12}, \overline{15}, \overline{18}\}. (☆)

となることが分かる。 f の像は、 f で行った先の全体だから、

Image f = {[0], [5], [10]}

となる。

さて、つぎに、 (ℤ/21ℤ)/ Ker f がどういうものであるか考えてみる。 ℤ/21ℤ を「Ker f で割る」という時には ℤ/21ℤ を

\overline{x} ∼ \overline{x′} ⇔\overline{x} − \overline{x′} ∈ Ker f

で決まる同値関係を入れるのであった。 (☆) をみれば分かるように、「\overline{y} が Ker f の元である」というのと、「y が 3 の倍数である」ということとは同値であるから、

\overline{x} ∼ \overline{x′} ⇔x − x′ ∈ 3ℤ.

これで ℤ/21ℤ をクラス分けすると、 ℤ/21ℤ は次の三つのクラスに分かれる。

クラス元
\overline{0} のクラス\overline{0}, \overline{3}, \overline{9}, \overline{12}, \overline{15} ,\overline{18}
\overline{1} のクラス\overline{1}, \overline{4}, \overline{10}, \overline{13}, \overline{16} ,\overline{19}
\overline{2} のクラス\overline{2}, \overline{5}, \overline{11}, \overline{14}, \overline{17} ,\overline{20}

よって、 (ℤ/21ℤ)/ Ker f は、 ¯0 のクラス、 ¯1 のクラス、 ¯2 のクラス、の三つの元からなる。 (以上出てきたすべての群には《代表元の足し算》によって演算が定義されていることに注意。 ) その他の出そうな問題

• いろいろな集合がある演算で群になるかならないか。例えば ℕ は足し算で群になるか？掛け算で群になるか？

• ℤ/150ℤ の、 \{\overline{35}, \overline{140}\} で生成される部分群は何か。 (当然数字は変わるでしょうね。 )

試験は共通教育一号館２階 122 教室で行なわれます。間違わないようにして下さい。