代数学 A NO.1 要約

1. 群の定義編

一学期の目標群の準同型定理を理解する。

定理 (群の準同型定理). 群 G から別の群 H への準同型写像 ϕ : G → H が与えられたとする。このとき、次が成り立つ。

(1) ϕ の像 Image ϕ は H の部分群である。

(2) ϕ の核 N = ker ϕ は G の部分群である。

(3) 剰余群 G/N は Image ϕ と同型である。

今日のテーマ群、加群、環。

(1) \underline{群とは、掛け算のできる集合のことである。}

(2) 加群とは、たし算のできる集合のことである。

(3) 環とは、足し算と掛け算のできる集合のことである。ただし、掛け算には、「ちゃんとした性質」がないといけない。その意味は次の定義で述べられる。

定義 1.1 (群の定義). 集合 G が群であるとは、 (0) 「掛け算」と呼ばれる写像 m : G × G → G が定義されていて、次の条件を満たすときに言う。

(1) その掛け算は結合法則を満たす。

m(m(x, y), z) = m(x, m(y, z)) (∀x, y, z ∈ G)

(2) G には単位元 (普通 e と書かれる) が存在する。すなわち、ある G の元 e があって、

m(e, x) = x, m(x, e) = x (∀x ∈ G)

がなり立つ。

(3) G の各元には逆元がある。すなわち、 G の任意の元 x に対して、 G のある元 y が存在して、

m(x, y) = e, m(y, x) = e

がなりたつ。

注意 1.1. 群の定義において、集合 G を決めただけではどんな掛け算を考えているのか明確でないので、正確には、組 (G, m) を群と呼ぶ。

例 . 次の (G, m) はそれぞれ群である。 (1) G = ℤ, m(x, y) = x + y.

(2) G = ℚ \ {0}, m(x, y) = xy.

(3) G = GL_{n}(ℝ), m(x, y) = xy.

例 . 次の (G, m) はそれぞれ群\underline{でない}。 (1) G = ℕ, m(x, y) = x + y.

(2) G = ℚ, m(x, y) = xy.

(3) G = GL_{n}(ℝ), m(x, y) = x + y.

定義 1.2. 群 G の部分集合 S, T について、その「積」 ST は、

ST = {st; s ∈ S, t ∈ T }

で定義される G の部分集合である。また、 S^{2}, S^{−1} をそれぞれ S^{2} = SS, S^{−1} = {s^{−1}; s ∈ S} で定義する。

• 写像、全射、単射、全単射の復習

写像 f : X → Y が、

(1) 全射であるとは、どんな Y の元 y を取ってきても、 f(x) = y の解 x ∈ X が存在するときに言う

(2) 単射であるとは、 x_{1}, x_{2} が X の異なる二つの元のときには、いつでも f(x_{1}) ≠ f(x_{2}) がなり立つときに言う。

(3) 全単射であるというのは、全射でかつ単射のときに言う。写像のことを話すときには始集合 X、終集合 Y を明確にしておく

ことが大事である。

例 . 数 x に対してその二乗 x^{2} を対応させる写像 f を考える。始集合、終集合をいろいろ変えてみることを考えてみよう。

(1) f : ℝ → ℝ 全射でも単射でもない。

(2) f : ℝ_{>0} → ℝ 単射であるが全射でない。

(3) f : ℝ → ℝ_{≥0} 全射であるが単射でない。

(4) f : ℝ_{>0} → ℝ_{>0} 全単射である。

• デカルト積集合の復習

集合 A, B のデカルト積集合 A × B とは、 A の元と B の元との組全体のなす集合である。すなわち、

A × B = {(a, b); a ∈ A, b ∈ B}

\underline{発展}(さらに勉強したい人のために)

組 (G, m) で、群の性質のうち (0),(1) を満たすものを半群、 (0),(1),(2) を満たすものをモノイドと呼ぶ。 (2ℤ, ×), (ℚ, ×) はそれぞれ半群、モノイドの例である。

※レポート問題次の中から一問を選んで、レポートとして提出しなさい。

(期限：次の講義の終了時まで。 )

(I) 適当な数の集合を用いて群の例と群でない例 (演算が定義された集合だが群にはならない例) を一つずつ挙げなさい。 (オリジナルであること)

(II) ℤ に、演算 m を

m(x, y) = x + y + 1

で定義する。このとき、 (ℤ, m) は群であるか、理由をつけて答えよ。

(III) (S, ·) をモノイドとし、その単位元を e とする。このとき、

S^{×} = {s ∈ S; t_{1} ·s = e, s·t_{2} = e を満たす S の元 t_{1}, t_{2} が存在する。 }

は群であることを示しなさい。