代数学 A NO.2 要約

2. 簡単な群の例、群のちょっとした性質編

今日のテーマ群を取り扱うときには、群の定義 (0),(1),(2),(3) に戻って考えよう。

(i) 基本的には、普通の掛け算をやっていると思ってよい。 (ii) 積は、可換とは限らない。 (iii) 一般的には、掛け算 (群の演算) 以外を用いてはならない。

例. 正の整数 n を一つ決めておく。実数を成分に持つ n × n-行列で、行列式が 0 でないものの全体を GL_{n}(ℝ) とかく。

GL_{n}(ℝ) = {A = (a_{ij}); det(A) ≠ 0}

GL_{n}(ℝ) は、行列の積に関して群をなす。これを一般線型群という。

例. 集合 X を一つ決めておく。 X から X への全単射の全体を、 𝔖(X) で表す。

𝔖(X) = {f : X → X; f は全単射}

𝔖(X) は写像の合成に関して群をなす。これを X の上の置換群と呼ぶ。

群でいろいろな例を作りたいときには、上の二つの例を覚えておればまず問題ない。どちらの群も可換ではない。 𝔖(X) では、群の元を「たす」などと言うのは一般に

は意味がないということがわかるだろう。

「群」というのは群の定義 (0),(1),(2),(3) を満たすものなら何でもよいのだから、直感だけに頼ると間違うときがある。正しい結論を出すためには、すべて (0),(1),(2),(3) に戻って考えるのがよい。

例えば、次のようなことは群の定義からすぐにわかる。

• 群の単位元はただ一つであること。

• 群の元を一つとってくると、その逆元はただ一つであること。

• ある元の「逆元の逆元」は自分自身であること。

• ab = cb ⟹ a = c.

• (ab)^{−1} = b^{−1}a^{−1}.

定義 2.1 (群の元のべき乗).G を群、 x をその一つの元とする。 (1) 自然数 n に対して、 x^{n} ( 《x の n-乗》 ) は帰納的に次のように定義される。

x^{0} = e (単位元),
x^{n+1} = x^{n}x

(2) n が負の整数のときには、 x^{n} は x^{−n} の逆元として定義する。

定理. x^{m}x^{n} = x^{m+n}

\underline{発展}(さらに勉強したい人のために)

群 G と集合 X が与えられているとする。写像

α : G × X → X

が与えられて、次の性質を満たすとき、 α は (G の X への) 作用であると呼ばれる。 (1) α(ab, x) = α(a, α(b, x)) (∀a, ∀b ∈ G, ∀x ∈ X).

(2) α(e, x) = x (∀x ∈ X). (ここで、 e は G の単位元。 ) 実際に使われる多くの群は、作用を通して理解される。作用 α が分かりきっているときには、 α(g, x) は単に g.x と書かれることも多い。この書き方だと、条件 (1),(2) は、次のように書かれる。

(1′) (ab).x = a.(b.x)) (∀a, ∀b ∈ G, ∀x ∈ X).

(2′) e.x = x (∀x ∈ X). (ここで、 e は G の単位元。 )

• 2 × 2-行列のケーリー・ハミルトンの定理。 A を 2 × 2-行列とする。このとき、

A^{2} − (tr A)A + (det A)E = 0

がなり立つ。

※レポート問題次の中から一問を選んで、レポートとして提出しなさい。

(期限：次の講義の終了時まで。 )

(I) 一般に、群の元 a, b について、

ab^{−1} = b^{−1}a

は正しいといえるか？いえる場合には証明し、いえない場合には反例を挙げよ。 (II) 群 G の元 a, b, c, d, f, g, h について、次の元をできるだけ簡単に表せ。

(abcd)^{−1}abc(h^{−1}g)^{−1}(fh)^{−1}

(III) 群 G が与えられたとする。次の α_{1}, α_{2} はそれぞれ G の G への作用であることを示しなさい。

(a) α_{1}(g, h) = gh (群の通常の掛け算)

(b) α_{2}(g, h) = ghg^{−1} (IV) 群 G の元 a, b が、関係 ba = a^{3}b を満たすとき、 ba^{5} = a^{15}b が成り立つこと

を示しなさい。