代数学 A NO.3 要約

3. 部分群編

今日のテーマ部分群 \underline{群の部分群とは、部分集合であって群になっているもののことである。}

ただし、部分群の掛け算はもとの群の掛け算と一致しなければならない。部分群の正確な定義は次のようになる。

定義 3.1 (部分群の定義).群 (G, m) が与えられているとする。 G の部分集合 H が G の部分群であるとは、次の条件を満たすときに言う。

(0) 掛け算 m : G × G → G を H × H に制限すると、これは H に値を持つ。すなわち、次のような写像が誘導される。

m : H × H → H

(1) (H, m) は群である。

条件 (0) は次のように言い換えても良い。 (0′) h, k を H から任意に取ってくると、いつでも m(h, k) は H の元である。

例. 次の集合はそれぞれ (ℤ, +) の部分群である。 (1) ℤ 自身。

(2) {0}.

(3) 偶数全体の集合 2ℤ.

(4) 3 の倍数全体の集合 3ℤ.

次の集合はそれぞれ (ℚ \ {0}, ×) の部分群である。

(1) ℚ \ {0} 自身、 {1}.

(2) {±1}.

(3) \{2^{n}; n ∈ ℤ\} (= \{1, 2, 4, 8, 16, 32,… \} ∪ \{\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32},… \})

(4) {2^{m}3^{n}; m, n ∈ ℤ}

例. 次の集合はどれも群 (ℤ, +) の部分群\underline{でない}。 (1) 奇数全体の集合 2ℤ + 1.

(2) {±1}.

定理. H が G の部分群であるためには、次の三条件が満足されることが必要十分である。

(1) a, b ∈ H ⟹ ab ∈ H

(2) e ∈ H

(3) a ∈ H ⟹ a^{−1} ∈ H

定理. ℤ の部分群は必ず

nℤ (= n の倍数の集合) (n = 0, 1, 2, 3,…)

のどれかである。 (もちろん、 nℤ は ℤ の部分群になっている。 )

群の定義の補遺

(1) 群 G の「単位元、逆元の存在」の「存在」の意味は、「G の元として存在する」と言う意味である。

(2) 条件 (0) (演算がうまくできること) を軽視してはならない。たとえば、 G = \{1, 2, 1/2\} は通常の掛け算に関して群では\underline{ない}。 2 × 2(= 4) が G の元ではないからである。

※レポート問題次の中から一問を選んで、レポートとして提出しなさい。

(期限：次の講義の終了時まで。 ) (I) 実数の乗法群 (ℝ^{×}, ×) の部分群の例と部分群でない例 (R の部分集合だが部

分群にはならない例) を一つずつ挙げなさい。 (オリジナルであること) (II) 有理数の加法群 (ℚ, +) の部分群 H が、 3 を元として含んでいたとします。こ

のとき、

H ⊃ 3ℤ

が成り立つことを示しなさい。