代数学 A NO.5 要約

5. 有限群編

今日のテーマ《有限群》

• 元の数が有限であるような群を、有限群と言う。

• 群 G の元の個数を、 G の位数と言い、 |G| で表す。 \underline{有限群の重要な例として、有限巡回群、二面体群、有限対称群がある。}

定義 5.1 (有限巡回群の定義).元の数が有限である巡回群を、有限巡回群と言う。

チャンネルをくるくるまわす群は、有限巡回群である。これを C_{n} と書くのだが、ここでは安直に次のように導入する。

定理. G を、元 g で生成される有限巡回群とする。このとき、 (1) g^{m} = e となる正の整数 m が存在する。

(2) 等式

{m ∈ ℤ; g^{m} = e} = m_{0}ℤ

が成り立つような正の整数 m_{0} が一意に存在する。

(3) (2) の m_{0} を用いると、次のようなことが成り立つ。

「G の元は、

g^{0}(= e), g^{1}(= g), g^{2}, g^{3},…, g^{m_{0}−1}

の丁度 m_{0} 個である。 (とくに、 G の位数は m_{0} である。 )」

系. 有限巡回群 G は、その位数によって完全に分類される。位数 n の巡回群の事を、 C_{n} と書く。

正 n 角形をそれ自身に重ねあわせる操作のなす群を二面体群と言う。これをここでは次のように導入する。

定理. 群 G が次のような性質を持つ元 a, b によって生成されているとする。 (1) a^{n} = e,

(2) b^{2} = e,

(3) ab = ba^{−1} このとき、次の等式が成り立つ。

G = {a^{k}b^{l}; k = 0, 1, 2, 3,…, n − 1, l = 0, 1}

とくに、 G は有限群であり、群 G の位数は 2n 以下である。 G の位数が丁度 2n であるとき、 G を位数 2n の二面体群とよぶ。 n を一つ決めるごとに、位数 2n の二面体群は同型を除いて一つしかない。

定義 5.2. 有限集合上の対称群を有限対称群と呼ぶ。 n 個の元からなる集合の上の対称群を、 n 次の対称群と呼ぶ。

定理. n 次の対称群の位数は n! である。

※レポート問題次の中から一問を選んで、レポートとして提出しなさい。

(期限：次の講義の終了時まで。 )

(I) 有限群 G の元 g が与えられたとします。このとき、ある正の整数 n が存在

して、 g^{n} = e が成り立つ事を示しなさい。 (II) 群 G が、二つの元 a, b で生成されていて、 a, b は次のような関係式を満たす

とします。

a^{60} = e, b^{4} = e, ab = ba^{19}

このとき、 G の位数は 240 以下である事を示しなさい。 (III) 群 G が、二つの元 a, b で生成されていて、 a, b は次のような関係式を満たす

とします。

a^{60} = e, b^{4} = e, ab = ba^{20}

このとき、 G の位数は 12 以下である事を示しなさい。