代数学 A NO.7 要約

7. 《群の、部分群による左剰余類集合集合》編

今日のテーマ《群の、部分群による左剰余類集合》 G を群、 H をその部分群とする。このとき、

• G に、次のようにして同値関係 ∼ が定まる。 (既出)

x ∼ y ⇔ ある h ∈ H があって、 xh = y が成り立つ。

これからはこの同値関係には記号 x ∼ y の代わりに、

x ≡ y (mod H)

と書いて、《x は y と H を法として左合同である》と言う事にする。考えている部分群 H が明確なときには、 (mod H) を書くのは省略して良い。 x のクラス C(x) を x の H を法とする左剰余類と言う。

• 上のように決めた同値関係 ≡ (mod H) による G の商集合 G/ ≡ を G/H と書き、 G の H による左剰余類集合という。\underline{今日はこれをもっと身近に感じられるようにする。}

例. (ℤ, +) をその部分群 H で割る。 (a) その部分群 H (b) x ≡ y (modH) となるのはいつか。 (c) ℤ/H の要素の数。

(1) ℤ/2ℤ. (a) 2ℤ (b) x − y が 2 の倍数であるとき。 (c) 二つ

(2) ℤ/10ℤ. (a) 10ℤ (b) x と y との一の位の数が一致する時。 (c) 10 個

(3) ℤ/nℤ. (a) nℤ (b) x − y が n の倍数であるとき。 (c)n 個

復習二面体群 𝔻_{n} とは、次の性質を持つ (同型を除いて唯一の) 群である。

(1) 𝔻_{n} は二つの元 a, b を持つ。

(2) a, b は a^{n} = e, b^{2} = e, ab = ba^{−1} を満たす。

(3) |𝔻_{n}| = 2n. 準備 𝔻_{n} の部分群として例えば次のものがある。 (この二つが全てではない。 )

(1) a で生成される 𝔻_{n} の部分群 ⟨a⟩. これは n 個の元からなる巡回群である。

(2) b で生成される 𝔻_{n} の部分群 ⟨b⟩. これは 2 個の元からなる巡回群である。

例. 二面体群 𝔻_{n} を部分群 H で割る。 (i) その部分群 H (ii) 𝔻_{n}/H の要素の数。 (1) (i) ⟨a⟩ (ii) 二つ

(2) (i) ⟨b⟩ (iii)n 個

復習と準備 n 個の元からなる集合 {1, 2, 3,…, n} からそれ自身への全単射の全体は写像の合成について群をなす。これを 𝔖_{n} と書く。 𝔖_{n+1} の部分集合 H_{n+1} を、

H_{n+1} = {f ∈ 𝔖_{n+1}; f(n + 1) = n + 1}

で定義すると、これは 𝔖_{n+1} の部分群であり、しかも 𝔖_{n} と同型である。

定理. 𝔖_{n+1}/H_{n+1} は標準的に {1, 2, 3, 4,…, n, n + 1} と同一視される。定理. G を群とし、 H をその部分群とする。このとき、

(1) G の任意の元 g に対して、 g の H を法とする左剰余類 C(g) は

gH = {gh; h ∈ H}

と一致する。

(2) C(g) (= gH) と H とは元の個数が等しい。

(3) G の位数 |G| が有限ならば、 G/H の元の個数 #(G/H) と H の位数 |H| と

はともに有限で、

|G| = #(G/H)|H|

が成り立つ。

※レポート問題つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 )

(I) 元 a で生成される位数二十の有限巡回群 C_{20}(= ⟨a; a^{20} = e⟩) を考えます。 a^{4} で生成される C_{20} の部分群 H の元をすべて書き出し、 G が、《H を法として左合同》と言う同値関係でどのように類別されるか、 C_{20}の元のクラス分けの表を作って示しなさい。特に、 C_{20}/H の元の個数はいくらか？

(II) 群 G とその部分群 H とが与えられたとします。 |H| と #(G/H) とがともに

有限ならば、 |G| も有限である事を示しなさい。 (III) 二面体群 𝔻_{12} = ⟨a, b; a^{12} = e, b^{2} = e, ab = ba^{−1}⟩ を考えます。 {a^{4}b, ab} で生

成される C_{20} の部分群 H の元をすべて書き出し、 G が、《H を法として左合同》と言う同値関係でどのように類別されるか、 𝔻_{12} の元のクラス分けの表を作って示しなさい。特に、 𝔻_{12}/H の元の個数はいくらか？