代数学 A NO.7 要約

7. 剰余群、正規部分群編

今日のテーマ《群の、部分群による左剰余類集合は、いつ群になるか。》群の部分群による剰余集合が、「自然なやり方で」群になるには、その部分群が正規部分群である事を仮定するのが良い。

定義 7.1. G を群、 K をその部分群とする。 K が G の正規部分群であるとは、任意の g ∈ G と任意の h ∈ K とに対して、

ghg^{−1} ∈ K

が成り立つときに言う。

例. (正規部分群の例)

(1) 可換群の部分群は正規部分群である。特に、 ℤ の部分群はすべて正規部分群である。

(2) 有限巡回群 C_{n} も可換群であるから、その部分群はすべて正規部分群である。 (3) 二面体群 𝔻_{n} = ⟨a, b; a^{n} = e, b^{2} = e, ab = ba^{−1}⟩ の部分群 ⟨a⟩ は正規部分群

である。

例. (正規部分群でない例)

(1) 𝔻_{n} の部分群 ⟨b⟩ は 𝔻_{n} の正規部分群ではない。

(2) n 次対称群 𝔖_{n} の部分群 𝔖_{n−1} は 𝔖_{n−1} の正規部分群ではない。

定理. G を群、 H をその部分群とする。 G/H に次のような乗法を定めて群にしてやりたい。

\overline{a}\overline{b} = \overline{ab}

これが、\underline{代表元の取りかたによらずに}うまくいって、 G/H が実際に群になるためには、 H が正規部分群である事が必要十分である。

定理. G を群、 N をその正規部分群とする。このとき G の二つの元 x, y に関する次の二つの条件は同値である。

(1) ある n ∈ N があって、 xn = y が成り立つ。

(2) ある m ∈ N があって、 mx = y が成り立つ。

すなわち、正規部分群で割る時には、「左」「右」をあまり気にしなくて良い。発展

定理. G を群とし、その上の同値関係 ∼ が定まっているとする。 G/ ∼ に乗法を、

\overline{a}\overline{b} = \overline{ab} (a, b ∈ G; \overline{a} 等は a 等のクラスを表す。 )

で定めたい。この乗法が代表元の取りかたによらずに定まるならば、

N = {x ∈ G; x ∼ e}

は G の正規部分群となり、 a ∼ b と a ≡ b (modN) とは同値になる。

※レポート問題つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 )

(I) m を正の整数とします。位数\underline{10m} の二面体群

𝔻_{5m} = ⟨a, b; a^{5m} = e, b^{2} = e, ab = ba^{−1}⟩

の、 a^{5} で生成された部分群を求めなさい。さらに、これが 𝔻_{5m} の正規部分群である事を調べなさい。

(II) 𝔖_{3} の、 (1 2 3) で生成された部分群をここでは仮に A と書くことにします。 A は、 𝔖_{3} の正規部分群であることを示しなさい。さらに、 𝔖_{3}/A はどのような群になるか答えなさい。

(III) 《発展》に挙げた定理のうち、 N が正規部分群であると言う部分の証明を書きなさい。 (ヒント：次のステップの各々に説明をつければ良い。どれも「明らか」ではない。（もちろん他のやり方を考えてもよろしい。 )

• \overline{e} は G/ ∼ の単位元である。

• a, b ∈ N ならば ab ∈ N .(サービス： G/ ∼ の乗法が代表元の取りかたによらない事から、\overline{a}\overline{b} = \overline{e}\overline{e} でなければならない。 )

• \overline{a} の G/ ∼ での逆元は\overline{a^{−1}} である。

• a ∈ N ならば a^{−1} ∈ N.

• a ∈ G, b ∈ N ならば aba^{−1} ∈ N.