代数学 A NO.9 要約

9. 準同型、同型編

今日のテーマ《二つの群を比べるには、準同型を調べるのが基本である。》準同型とは、演算を保つ写像の事である。

定義 9.1. G, H を群とする。 G から H への写像 f : G → H が準同型（正確には、群としての準同型写像) であるとは、任意の g_{1}, g_{2} ∈ G に対して、

f(g_{1}g_{2}) = f(g_{1})f(g_{2})

が成り立つときに言う。準同型 f が全単射でもある時、 f を同型と言う。

例 . 準同型の例

(1) 任意の群 G に対して、 G の上の恒等写像 id : G → G は G から G への準同型である。これは全単射であるから、同型である。

(2) n を正の整数とする。 ℤ から nℤ への写像 f を、

f(k) = nk

により定めると、 f は準同型である。これも同型である。

(3) n を正の整数とする。 ℤ から ℤ への写像 f を、

f(k) = nk

で定めると、 f は準同型である。これは n > 1 なら同型ではない。

(4) n を正の整数とする。 ℤ から C_{n} = ⟨a; a^{n} = e⟩ を、

f(k) = a^{k}

で定めると、 f は準同型である。これは同型ではない。

例 . さらなる準同型の例

(1) n, m を正の整数とし、 n は m の倍数であるとする。 C_{n} = ⟨a; a^{n} = e⟩ から C_{m} = ⟨b; b^{m} = e⟩ への写像 f を、

f(a^{k}) = b^{k}

で定義する。このとき、 f は準同型写像である。 n ≠ m ならば、 f は同型ではない。

(2) G = GL(n; ℝ) から、 H = ℝ^{×} への写像 f を、

f(A) = det(A)

で定義すると、 f は準同型である。これは行列式を扱う時の基本になる。

例 . (準同型でない例)

(1) ℤ から ℤ への写像 n ↦ n^{2} は準同型ではない。

(2) ℤ から ℤ への写像 n ↦ n + 1 も準同型ではない。

これまで、群には演算、というデータのほかに、単位元、逆元の存在が基本的であると言ってきた。これらは準同型で自動的に保存される。次の定理でそのことを示そう。定理 . G, H を群とする。 G から H への準同型写像 f : G → H に対して、次の事が成り立つ。

(1) f は単位元を単位元にうつす。すなわち、

f(e_{G}) = e_{H}. (e_{G}, e_{H} はそれぞれ G.H の単位元)

(2) f は逆元を逆元にうつす。すなわち、任意の G の元 g に対して、

f(g^{−1}) = f(g)^{−1}

が成り立つ。

(3) 任意の整数 n と任意の G の元 g に対して、

f(g^{n}) = f(g)^{n}

が成り立つ。

• 準同型の核

定義 9.2. f : G → H を二つの群の間の準同型とする。 f の核 (kernel) とは、 H の単位元 e_{H} の f の逆像の事である。すなわち、

Ker(f) = f^{−1}(e_{H}) = {g ∈ G; f(g) = e_{H}}

準同型を調べよ、と言われたらとりあえずその核を調べる。核は次のような性質と役割をもつ。

定理 . f : G → H を二つの群の間の準同型とする。このとき、 (1) f の核 Ker(f) は G の正規部分群である。

(2) g_{1}, g_{2} ∈ G に対して、「f(g_{1}) = f(g_{2})」と「g_{1} ≡ g_{2} (mod Ker(f))」とは同値である。

上の定理はとても大事であるので、次回からも引き続き考察する事になる。 (実力のある諸君はこの時点で準同型定理 (NO.1 要約参照) の証明を完結できる筈である。試していただきたい。 )

※レポート問題つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 )

(I) 準同型の例と、準同型でない例とをそれぞれ一つづつ挙げなさ

い。 (II) 群 G に対して、つぎの写像を考える。

f(g) = g^{−2}

このとき、《f が準同型になる事》と《G が可換である事》とは同値だろうか？ (この問題は少し難しい。 G の位数が 3 の倍数かどうかで様子が違う。 )

(III) 二面体群 𝔻_{n} = ⟨a, b; a^{n} = e, b^{2} = e, ab = ba^{−1}⟩ から ({±1}, ×) への写像 f を、

f(a^{k}b^{l}) = (−1)^{l} (k ∈ ℤ, l ∈ ℤ)

で定めると、これは準同型写像である事を示しなさい。（この事の幾何学的な意味は何か？ )

(IV) n 次対称群 𝔖_{n} から ({±1}, ×) への写像を、

f(σ) = ∏_{i>j} \frac{σ(i) − σ(j)}{i − j}

で定義すると、 f は（ちゃんと値を {±1} にとり、かつ) 準同型である事を示しなさい。