代数学 A(後期) 演習問題 NO.1

1. 環と体の定義とその周辺編

定義 1.1. (R, +, ×) が環であるとは、それが次の３つの条件を満たすときに言います。

1. R は + (加法) に関して加法群である。その単位元を 0 と書き、 R の零元と言います。

2. × (乗法) は結合律を満たす。

3. + と × のあいだでは分配法則が成り立つ。すなわち、

a × (b + c) = a × b + a × c
(b + c) × a = b × a + c × a

がすべての R の元 a, b, c について成り立つさらに R の元 u が

u × a = a × u = a(すべての a ∈ R について)

を満たすとき、 u を R 単位元と言います。 (普通は、単位元のことは 1 と書きます。 )

簡単に言えば、普通の計算をやってると思って良いです。ただし、割り算ができないことと、積が可換とは限らないことが違います。また、乗法の × は省略することが多いです。例えば、

a × b = ab.

また、 x + x + x = 3x, x × x = x^{2} 等と略記します。

定義 1.2. 積が可換である環を可換環と言います。 0 でない元で割り算ができるような可換環を体と言います。

問題 1.1. 環 R の元 a, b に対して、 a0 = 0a = 0, (−a)b = a(−b) = −(ab), ab = (−a)(−b), (3a)(2b) = 6(ab) が成り立つことを示しなさい。

問題 1.2. a, b, c, d を可換環の元とするとき、次の式を展開しなさい。

(a + b)(a − b)(a^{2} + ab + b^{2})(a^{2} − ab + b^{2}) (1.1) (a + b + c + d)(a + b − c − d) (1.2)

(a + b + c)^{2} − (a − b − c)^{2} (1.3)

問題 1.3. 環の単位元は存在したとしてもただひとつであることを示しなさい。 (ヒント： u, v を二つの単位元とすると uv = …)

問題 1.4. 次の各集合は環、可換環、体でしょうか？ (加法、乗法は断らない限り自然なものを選ぶ。 ) 更に、単位元はありますか？

1. 自然数全体の集合 ℕ

2. 整数全体の集合 ℤ

3. 実数全体の集合 ℝ

4. 実数を成分に持つ 2 × 2-行列の全体 M_{2}(ℝ)

5. 奇数全体の集合 2ℤ + 1 問題 1.5. 次の各集合は環、可換環、体でしょうか？ (加法、乗法は断らない限り自然なものを選ぶ。 ) 更に、単位元はありますか？

1. 実数上のベクトル空間 ℝ^{3} に、次のような乗法を入れたもの

(\begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) × (\begin{matrix}b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix}a_{2}b_{3} − a_{3}b_{2} \\ a_{3}b_{1} − a_{1}b_{3} \\ a_{1}b_{2} − a_{2}b_{1} \end{matrix}) (ベクトルの外積)

2. M_{2}(ℝ) に次の乗法 (普通の積と紛らわしいので A × B と書かずに [A, B] であらわす) を入れたもの

[A, B] = AB − BA (交換子積)

(ただし右辺の AB とか BA とか言うのは行列の普通の積です。 )

問題 1.6. ℤ の部分集合であって、普通の足し算と掛け算について環になっているものを全て挙げなさい。

問題 1.7. 実数の閉区間 [0, 1] 上の連続関数全体は、適当な演算 (各点ごとの足し算、掛け算) のもとに環になることを示しなさい。

問題 1.8.

R = {f : [0, 1] → ℝ; f は連続で、 f(0) = f(1) = 0 を満たす }

とおくと、 R は各点ごとの足し算、掛け算によって環になることを示しなさい。

問題 1.9. 前問の環 R には単位元が存在しないことを示しなさい。

例題 1.1. m, p を正の整数とするとき、

m = pq + r (0 ≤ r < p)

を満たす整数 p, r が存在することを示しなさい。

解答: m の大きさに関する帰納法を用いる。 m < p なら (q, r) = (0, m) とおけば良い。 m ≥ p なら、 m の代わりに m′ = m − p を考えてみると、 m′ は m より確かに小さいから、帰納法の仮定により

m′ = pq′ + r′ (0 ≤ r′ < p)

となる整数 q′, r′ が存在する。この q′, r′ に対して、

m = m′ + p = (pq′ + r′) + p = p(q′ + 1) + r′

が成り立つから、 q = q′ + 1, r = r′ とおけば良い。

問題 1.10. m = 25, q = 3 のときに上の帰納法をたどってみなさい。

問題 1.11. f(X), g(X) を実数を係数に持つ一変数多項式とするとき、もし g(X) が 0 でなければ、

f(X) = g(X)h(X) + r(X) (deg(r) < deg(g))

を満たす実数係数一変数多項式 h(X), r(X) が存在することを示しなさい。 (ここで、「deg」は多項式の次数のことです。 )

問題 1.12. f(X), g(X) を整数を係数に持つ一変数多項式とするとき、もし g(X) がモニック (最高次の係数が 1 ) ならば、

f(X) = g(X)h(X) + r(X) (deg(r) < deg(g))

を満たす整数係数一変数多項式 h(X), r(X) が存在することを示しなさい。問題 1.13. f(X) = 3X^{8}, g(X) = x^{2} − 3x + 5 のとき、うえのような h, r を求めなさい。

問題 1.14. p, q を正の整数とし、その最大公約数を d とおきます。このとき、

1. q = sp + r と割り算したとき、 p と r との最大公約数は d であることを示しなさい。

2. p, q のうちの大きいほうの大きさに関する帰納法を用いることに

より、

ap + bq = d

となる整数 a, b が存在することを示しなさい。

問題 1.15. 25a + 11b = 1 を満たす整数を上の問題に使われている帰納法をたどることによってみつけなさい。

問題 1.16. 群 G の元 a が、

a^{25} = e, a^{11} = e e は単位元

を満たすとき、 a = e であることを示しなさい。

問題 1.17. f, g を実数係数の一変数多項式とし、その最大公約数を d とおきます。

1. g = hf + r と割り算したとき、 f と r との最大公約数は d であることを示しなさい。

2. deg(f), deg(g) のうちの大きいほうの大きさに関する帰納法を用

いることにより、

af + bg = d

となる実数係数の一変数多項式 a, b が存在することを示しなさい。

問題 1.18.

X^{4}a(X) + (X − 1)^{3}b(X) = 1

を満たす a, b を上の問題に出てくる帰納法をたどることによって求めなさい。

問題 1.19. 実数を要素に持つ 2×2-行列全体のなす環 M_{2}(ℝ) において、 1.

A = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) , B = (\begin{matrix}5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix})

とおくとき、 (A + B)(A − B) および A^{2} − B^{2} をそれぞれ求めなさい。

2.

C = (\begin{matrix}1 & 1 \\ −1 & 3 \end{matrix})

とおくとき、 (C − 2E)^{2} および C^{n} − n2^{n−1}C の値を求めなさい。ただし E は単位行列、 n は 2 以上の整数とします。

4 代数学 A(後期) 演習問題 NO.1

問題 1.20.

P = (\begin{matrix}1 & 1 \\ −1 & 3 \end{matrix}) , Q = (\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 2 \end{matrix})

とするとき

(P − Q)(P^{7} + P^{6}Q + P^{5}Q^{2} + P^{4}Q^{3} + P^{3}Q^{4} + P^{2}Q^{5} + P Q^{6} + Q^{7}) の値を求めなさい。