代数学 A(後期) 演習問題 NO.11

11. 一意分解環・単項イデアル整域・ユークリッド整域編 (3)

今回も「環」といえば単位元を持つ可換環であるとし、「環の準同型」は単位元を保つものだけを考えることにします。

問題 11.1. 単項イデアル整域の 0 でない素イデアルは極大イデアルであることを示しなさい。

問題 11.2. (ℤ/7ℤ)[X] の元 X^{3} − a は、 a のどのような値に対して既約となりますか？

問題 11.3. ℤ/7ℤ の元 X^{3} − X − a が既約になる a の値を決定しなさい。

問題 11.4. ℚ[X] において、次を因数分解しなさい。 1. X^{3} + X^{2} − 11X − 15

2. X^{4} + X^{2} + 1

3. X^{4} + 4

問題 11.5. X^{4}+1 を ℝ[X] において因数分解し、その結果これが ℚ[X] では既約であることを示しなさい。

問題 11.6. R = ℤ[\sqrt{−1}] において 2 は既約元かどうか調べなさい。

問題 11.7. R = ℤ[\sqrt{−3}] において、 2 は既約元であるか、また、素元であるか、調べなさい。

問題 11.8. (X^{3}+2X^{2}+3X+4)(X^{4}+2X^{3}+3X^{2}+4X+5) = X^{7}+4X^{6}+ 10X^{5} +20X^{4} +30X^{3} +34X^{2} +31X +20 を用いて、 X^{7} +4X^{6} +4X^{2} +X を ℤ/10ℤ 上で二つの因数の積に分解しなさい。

問題 11.9. d を正の整数とします。 ℤ に係数を持つモニックな多項式 f(X) が、 ℤ/dℤ 上の多項式と見て既約ならば、 ℤ 上の多項式と見ても既約なことを示しなさい。

問題 11.10. 任意の整数 n に対して、 X^{2}+(2n+1)X +1 は ℤ 上既約なことを示しなさい。（ヒント： ℤ/2ℤ で既約なことを示せばよろしい。 )

問題 11.11. 前問を用いて、 4n^{2} + 4n − 3 は整数の平方にならないことを示しなさい。

問題 11.12. 前々問を用いずに、 4n^{2} + 4n − 3 は整数の平方にならないことを示しなさい。

問題 11.13. 整数係数の多項式 f(X) = a_{n}X^{n}+a_{n−1}X^{n−1}+a_{n−2}X^{n−2}+ ⋯ + a_{1}X + a_{0} において、 p|a_{i} (i = n − 1, n − 2, …, 1, 0) を満たす素数 p が存在するとします。このとき、

1.

f(X) = g(X)h(X) (deg(g), deg(h) > 0)

と、 ℤ 上の多項式として因数分解できるならば、ある b, c ∈ ℤ と k ∈ {1, 2, …, n − 1} があって、

g(X) ≡ bX^{k}, h(X) ≡ cX^{n−k} (modulo p)

が成り立つことを示しなさい。 2. もし、定数項 a_{0} が p^{2} で割り切れなければ、 f(X) は ℤ 上の多項

式として既約であることを示しなさい。（アイゼンシュタインの既約性判定法)

問題 11.14. p が整域 R の素元であれば、 p は多項式環 R[X] の素元でもあることを示しなさい。

問題 11.15. 整数 x, y, z が x^{4} + y^{4} = z^{4} を満たしていたとし、 x, y, z の最大公約数が 1 だとします。この時、

1. x, y, z はどの二つも互いに素であることを示しなさい。

2. z^{4} − y^{4} = (z + \sqrt{−1}y)(z − \sqrt{−1}y)(z − y)(z + y) を示しなさい。

3. z + iy, z − iy, z − y, z + y は ℤ[\sqrt{−1}] の元とみたときどの二つも互いに素であることを示しなさい。

4. z − y = ua^{4}, z + y = vb^{4} となる a, b ∈ ℤ[\sqrt{−1}] と ℤ[\sqrt{−1}] の単数 u, v が存在することを示しなさい。 (この結果は Fermat の大定理の n = 4 の場合の証明の第一段階として使える。 )

問題 11.16. R, S を (単位元を持つ可換) 環とします。このとき、直和 R ⊕ S には単位元以外の巾等元 (x^{2} = x となるような元 x) が存在することを示しなさい。

問題 11.17. m, n を互いに素な正の整数とします。このとき、 ℤ/mnℤ には単位元以外の巾等元が存在することを示しなさい。

問題 11.18. a_{i} = 2^{i} (i = 0, 1, 2, 3, 4, 5) とします。このとき、 1. 任意の n ∈ {0, 1, 2, 3, …, 63(= 2^{6} − 1)} にたいして、

n = ∑_{i=0}^{5} ϵ_{i}a_{i}

となる ϵ_{0}, …, ϵ_{5} ∈ {0, 1} が一意的に存在します。 (２進法の原理) さて、 n = 13, 25, 49 のそれぞれに対して具体的に上の ϵ_{0}, …, ϵ_{5} を求めなさい。

2. b_{i} を、《a_{i} × 50 を 71 で割った余り》とします。すなわち、

b_{0} = 50, b_{1} = 29, b_{2} = 58, b_{3} = 45, b_{4} = 19, b_{5} = 38.

このとき、 b_{i} × 27 を 71 で割った余りは a_{i} に等しいことを示しなさい。

3. ϵ_{0}, …, ϵ_{5} ∈ {0, 1}, ϵ′_{0}, …, ϵ′_{5} ∈ {0, 1} が、

∑_{i=0}^{5} ϵ_{i} = b_{i} ∑_{i=0}^{5} ϵ′_{i}b_{i}

を満たすならば、 ϵ_{i} = ϵ′_{i} (I = 0, 1, 2, 3, 4, 5) であることを示しなさい。 (この現象は暗号理論に利用された。数学セミナー (12 月号 p.38) 参照)

4. 集合 {50, 29, 58, 45, 19, 38} の中から幾つかの元を選んでその和が丁度 93 になるようにしなさい。

問題 11.19. 前問の応用問題です。 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187(= 3^{i} (i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)) に 12345 をかけて 67891 で割った余りが、それぞれ

12345, 37035, 43214, 61751, 49471, 12631, 37893, 45788 であることを利用して、次の問題を解きなさい:

{12345, 37035, 43214, 61751, 49471, 12631, 37893, 45788} の中から元を幾つか選んできて、その和がつぎの数になるようにしなさい。

(1) 92880 (2) 92685 (3) 156919

(ヒント： 12345 × 15668 − 2849 × 67891 = 1 )

例題 11.1.

12345x + 67891y = 1

を満たすような整数 x, y を求めなさい。

(解答)

67891 を 12345 で割ると、商は 5 で余りは 6166. ゆえに、

67891 = 5 × 12345 + 67891.

これを行列算を用いて書くと、

(\begin{matrix}67891 \\ 12345 \end{matrix}) (\begin{matrix}5 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}12345 \\ 6166 \end{matrix})

となる。このような操作を続けることによって、

(\begin{matrix}67891 \\ 12345 \end{matrix}) = (\begin{matrix}5 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}6166 \\ 13 \end{matrix}) = (\begin{matrix}5 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}474 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}13 \\ 4 \end{matrix})
= ⋯ = (\begin{matrix}5 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}474 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}3 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}4 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix})

を得る。この式に出てくる正方行列は全て M_{2}(ℤ) の中で可逆（行列式が −1) であることに着目して、これを次のように書き直す。

(\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & −4 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & −3 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & −472 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & −2 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & −5 \end{matrix}) (\begin{matrix}67891 \\ 12345 \end{matrix})

= (\begin{matrix}−2849 & 15668 \\ 12345 & 67891 \end{matrix}) (\begin{matrix}67891 \\ 12345 \end{matrix}) .

両辺の第一成分を比較することにより、

−2849 · 67891 + 15668 · 12345 = 1

を得る。 (第二成分はこの際使われないが、検算の役にはたちます。 ) よって、 x = 15668, y = −2849 が (一つの) 正解となる。 (このような x, y の存在は、 12345 と 67891 とが互いに素であることも示しています。 )

問題 11.20. 例題 11.1 に習って、 1995x + 811y = 1 を満たす整数 x, y の組を一つ求めなさい。

問題 11.21. 例題11.1 に習って、 (X^{3}+3X^{2}+5X+7)f(X)+(X^{8})g(X) = 1 を満たす多項式 f, g の組を一つ求めなさい。

問題 11.22. 例題 11.1 に習って、 (7 + 8\sqrt{−1})a + (9 + 10\sqrt{−1})b = 1 を満たす ℤ[\sqrt{−1}] の元 a, b の組を一つ求めなさい。

問題 11.23. 例題 11.1 に習って、 (11+12ω)a+(15+14ω)b = 1 を満たす ℤ[ω] の元 a, b の組を一つ求めなさい。ただし、ここに、 ω = \frac{−1+\sqrt{−3}}{2} (1 の原始三乗根の一つ) とします。問題 11.24. 例題11.1 に習って、 (11X^{3}+3X^{2}+5X+7)f(X)+(X^{8})g(X) = 1 を満たす ℤ/13ℤ 上の多項式 f, g の組を一つ求めなさい。 (ここで、たとえば X^{3} の係数の 11 等は ℤ/13ℤ の元としてみています。 (今まで \overline{11} と書いていたもの。この環では 13 = 0 がなり立ちます。ほかにも、 5 × 7 = −1 等一風変わった等式が成り立つので注意。 )