代数学 A(後期) 演習問題 NO.11

11. 体論編

今回も「環」といえば単位元を持つ可換環であるとし、「環の準同型」は単位元を保つものだけを考えることにします。

定義 11.1. 各素数 p に対して、体 ℤ/pℤ のことを、 (いちいち記号《ℤ》を二つも書くのがいやなもので、 ) 𝔽_{p} とかくことにします。

例題 11.1. 𝔽_{3}[X]/(X^{2} + 1) は体であることを示しなさい。

(解答 I (今までの知識を使って楽々))

体 𝔽_{3} 上の一変数多項式環 𝔽_{3}[X] は PID であるから、 X^{3} + X + 1 が既約であることを示せば、 I = (X^{2}+1) が R = 𝔽_{3}[X] の極大イデアルであることが分かって、 R/I が体であることが従う。 F (X) = X^{2} + 1 = 0 は 𝔽_{2} 上に解を持たない (X = 0, 1, 2 を代入してみればわかる) から、 F (X) は一次式の積に分解できず、既約であることが分かる。 (証明終)

(解答 II (ゴリゴリ計算で出す))

𝔽_{3}[X]/(X^{2} + 1) の元は必ず aX + b (a, b ∈ 𝔽_{3}) の形の元で代表される。 (a, b) ≠ (0, 0) の時にこれらの元が可逆であることを示せば良い。

f(X)(aX + b) + g(X)(X^{2} + X + 1) = 1

なる f, g ∈ 𝔽_{3}[X] を求めれば、 f が aX + b の逆元となる。 (f, g の求め方は今や知っている筈である。 ) 具体的には、 a = 0 のときは、 f = b^{−1}、 a ≠ 0 のときには、 aX + b = a(X + b/a) により、 a = 1 のときを考えれば十分で、このときには、

(X + b)(−\frac{X − b}{b^{2} + 1}) + \frac{X^{2} + 1}{b^{2} + 1} = 1

となり、 X + b の逆元が −\frac{X−b}{b^{2}+1} であることが分かる。 (b ∈ 𝔽_{3} の値いかんにかかわらず b^{2} + 1 ≠ 0 であることに注意。 )

問題 11.1. 𝔽_{2}[X]/(X^{2} + X + 1) は体であることを示しなさい。

問題 11.2. 𝔽_{5}[X]/(X^{2} + 2) は体であることを示しなさい。

問題 11.3. 環 R の元 a, b, x, y が、関係式 ax + by = 1 を満たすとき、 R/(a) において b̄ は可逆である (逆元を持つ) ことを示しなさい。

問題 11.4. n を正の整数とします。 ℝ[X]/X^{n} において、 1 + X + 3X^{2} の逆元を求めなさい。

問題 11.5. 体 𝔽_{2}[X]/(X^{2} + X + 1), 𝔽_{5}[X]/(X^{2} + 2) の元の個数を求めなさい。

問題 11.6. K を有限体 (元の個数が有限な体) とします。このとき、ある素数 p があって、 K は 𝔽_{p} を含むことを示しなさい。 (ヒント:環準同型 ℤ → K を作ってその核を調べなさい。 )

問題 11.7. p を素数とします。この時、 1. 1 < r < p なる任意の整数 r に対して、

pC_{r} = \frac{p(p − 1) … (p − r + 1)}{r(r − 1) … 1}

は p で割り切れることを示しなさい。 (分母分子に現われる p の数を比べてみなさい。 )

2. 環 R において、 p = 0 がなり立つ (例えば、 R = 𝔽_{p}) ならば、

(x + y)^{p} = x^{p} + y^{p}

がすべての x, y ∈ R について成り立つことを示しなさい。

3. R の自己準同型 (R から R 自身への準同型) ϕ が、

ϕ(x) = x^{p} (x ∈ R)

によって定まることを示しなさい。 (ϕ はフロベニウス写像と呼ばれ、 𝔽_{p} の絡んだ問題で威力を発揮します。 )

問題 11.8. 前問の ϕ が準同型写像であることを用いて、フェルマの定理 (任意の整数 n に対して、 n^{p} − n は p で割り切れる) を証明しなさい。 (ヒント: n = 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1)

問題 11.9. p を素数とします。整域 R において、 p = 0 がなり立つならば、フロベニウス写像

ϕ(x) = x^{p}

で固定される R の元 (ϕ(x) = x がなり立つような x) は

0, 1, 2, …, p − 1

の p 個であることを示しなさい。 (ヒント： p-次方程式の根は高々 p 個しかないことを使う。 )

問題 11.10. R を整域とします。この時、次のどちらかが必ずおきることを示しなさい。

1. ある素数 p に対して、 R の元として p = 0 がなり立つ。

2. 0 でない整数は、 R の元としても 0 でない。 ((1) の場合、このような p のことを R の標数と言います。 (2) の場合には、 R の標数は 0 であると言います。 )

定義 11.2. 一般に、複素数 a, b, c, d (ad − bc ≠ 0) を持ってきて、

ϕ_{(\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix})} : z ↦ \frac{az + b}{cz + d}

なる ℂ∪{∞} からそれ自身への変換を、メビウス変換と言います。メビウス変換全体のなす集合を、ここでは、 Möb と書くことにしましょう。

問題 11.11. 上の定義の記号をそのまま使うことにします。対応

(\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) → ϕ_{(\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix})}

は GL_{2}(ℂ) から Möb への群としての準同型写像を与えること、すなわち、

ϕ_{(\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix})}ϕ_{(\begin{matrix}p & q \\ r & s \end{matrix})} = ϕ(_{(\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix})}_{(\begin{matrix}p & q \\ r & s \end{matrix})})

を示しなさい。定義により、この対応は全射です。この対応の核は何ですか。問題 11.12. (無限遠点 (∞) の加えかた (複素射影直線))

ℂ^{2} \ {(0, 0)} に関係 ∼ を、

(x, y) ∼ (x′, y′) ⇔ xy′ = yx′

で定義します。この時、 1. ∼ は同値関係であることを示しなさい。

2. y ≠ 0 ならば、 (x, y) ∼ (x/y, 1) であることを示しなさい。

3. y = 0 ならば、 (x, y)(= (x, 0)) ∼ (1, 0) であることを示しなさい。 4. (x, y) ∼ (x′, y′) は、《0 でないある複素数 u があって、 (x, y) =

u(x′, y′) がなり立つ》ということと同値であることを示しなさい。 (x, y) のこの同値関係による同値類は、 x と y との比を表していると考えることができるので、 [x : y] と書くことがあります。 [x : y] の全体は、 ℂ = {[x : 1]} に無限遠点 {∞ = [1 : 0]} を付け加えたものとみることができます。

問題 11.13. 前問と同じ記号を用いることにします。 (x, y) ∼ (x′, y′) (すなわち [x : y] = [x′ : y′]) ならば、

(\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) (\begin{matrix}x′ \\ y′ \end{matrix})

であることを示しなさい。 (ヒント：前問の (4) を用いてみなさい。 ) このことと、メビウス変換との関係は何ですか？

例題 11.2.

67891/12345 = 5 + \frac{1}{2 + \frac{1}{474 + \frac{1}{3 + \frac{1}{4}}}}

を示しなさい。 (連分数展開。 )

(解答) 67891/12345 の整数部分は 5 だから、これを分けると、

67891/12345 = 5 + \frac{6166}{12345} = 5 + \frac{1}{\frac{12345}{6166}} .

あとは、 12345/6166 に対して同じことを続ければ良い。

問題 11.14. a = b + 1/c と言うことは、

a = ϕ_{(\begin{matrix}b & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})}(c)

と言うことと同値であることを示しなさい。これを用いて、 No.11 例題 1 と、今回の例題 11.2 との関係を言いなさい。

連分数展開は、有理数でない実数に対しても実行できます。たとえば、

\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 +_{...}}}}}

問題 11.15. \sqrt{5} を連分数展開しなさい。

問題 11.16. \sqrt{3} を連分数展開しなさい。 (連分数展開においては《分子》が常に 1 であることに注意。 )

問題 11.17. π = 3.1415926535 … を適当なところまで連分数展開してみなさい。

問題 11.18.

a = \frac{1}{3 + \frac{1}{3 + \frac{1}{3 + \frac{1}{3 +_{...}}}}}

に対して、 (収束等の議論は今はしないでおく)

1. 1/a = 3 + a であることを示しなさい。

2. a を求めなさい。

3. (2) で求めた a を実際連分数展開して、答えが合っていることを確かめなさい。

問題 11.19. R, S が環であるとき、同型 (R × S)^{×} ≅ R^{×} × S^{×} が存在することを示しなさい。

問題 11.20. X = [0, 1] ∪ [2, 3] 上の連続関数の全体 C(X) の単位元以外の巾等元を一つ求めなさい。

問題 11.21. R を環とします。 Spec(R) = {R の素イデアルの全体} と書くことにし、 R のイデアル I に対して、 Spec(R) の部分集合 V (I) を、

V (I) = {P ∈ Spec(R); P ⊃ I}

により定義します。次のことを示しなさい。 1. V (I + J) = V (I) ∩ V (J).

2. 一般に、 {I_{λ}} をイデアルの族とし、 I = (∪I_{λ}) を I_{λ} の和集合で生成されたイデアルとするとき、

V (I) = ⋂_{λ} V (I_{λ}).

3. V (IJ) = V (I) ∪ V (J).

4. V (R) = ∅

5. V (0) = Spec(R) (上のことは、 Spec(R) に、 V (?) を閉集合とするような位相が定まることを示しています。この位相は、 Zariski 位相と呼ばれ、代数幾何学で基本的な役割を果たします。 )