代数学 A(後期) 演習問題 NO.2

2. 環と体の定義とその周辺編 (2)

\underline{注意}これからは、とくにことわらない限り、単位元をもつ環のみを扱う。「環」といえば、単位元を持つ環と解釈していただきたい。 (単位元の存在がとくに重要な時には、一応ことわる。 )

問題 2.1. ℤ + \sqrt{−1}ℤ = \{a + b\sqrt{−1}; a, b ∈ ℤ\} は環となることを示しなさい。 (\sqrt{−1} は虚数単位をあらわす記号です。 )

問題 2.2. 単位元 1 を持つ環 R の元 x, y, z にたいして、

xy = 1 (すなわち y は x の右逆元である。 ) zx = 1 (すなわち z は x の左逆元である。 )

が成り立つとき、 z = y であって、

xy = yx = 1 (すなわち y(= z) は x の逆元である)

が成り立つことを示しなさい。

定義 2.1. 単位元の存在する環 R において、逆元が存在するような元のことを、 R の可逆元とか、単元、あるいは単数といいます。

問題 2.3. R を単位元の存在する環とします。 R の可逆元全体 R^{×} は群をなすことを示しなさい。

定義 2.2. 前問の R^{×} のことを R の単数群といいます。

問題 2.4. ℤ の単数群を求めなさい。

問題 2.5. ℤ + ℤ\sqrt{−1} の単数群を求めなさい。

問題 2.6. ℚ + ℚ\sqrt{−1} = \{a + b\sqrt{−1}; a, b ∈ ℚ\} は体となることを示しなさい。

定義 2.3 (部分環の定義).R が単位元をもつ環であるとする。 R の部分集合 S が R の部分環であるとは、 S が次の条件を満たす時にいう。

1. S は R の足し算、かけ算を流用することにより環になっている。 2. S は R の単位元を元として持つ。

上の条件のうち、 (1) が本質的部分であり、 (2) は冒頭で述べた注意に沿うための技術的条件である。ただし、 (2) をぬかしてしまうと理論は見かけ上かなり違った形になるので単位元のない環を扱う時 (がもしあればその時) には注意が必要である。

問題 2.7. 次のものは複素数全体のなす環 ℂ の部分環であるか、理由をつけて答えなさい。

1. 整数全体の集合 ℤ.

2. 有理数全体の集合 ℚ.

3. ℤ + \sqrt{−1}ℤ = \{x + \sqrt{−1}y; x, y ∈ ℤ\}.

4. 複素数を成分にもつ二次行列全体の集合 M_{2}(ℂ).

問題 2.8. ℂ の部分環 S が、 1, \sqrt{2} + \sqrt{5} を元として持っているとします。この時、 2\sqrt{10}, 6\sqrt{2}, 6\sqrt{5} も S の元であることを示しなさい。定義 2.4. 単位元をもつ可換環 R が

ab = 0(a, b ∈ R) ⟹ a = 0 or b = 0

を満たす時、 R を整域とよぶ

問題 2.9. M_{2}(ℂ) の部分集合

\{(\begin{matrix}k + 2l & 0 \\ 0 & k + 3l \end{matrix}); k, l ∈ ℂ\}

は加法、減法、乗法について閉じていることを示し、これが単位元をもつ可換環であることを言いなさい。さらに、この環は整域ではないことを示しなさい。

問題 2.10. R が可換環 S の部分環であるとき、 R も可換環になり、さらに S が整域であれば R も整域であることを示しなさい。

問題 2.11. 実数を成分に持つ n-次正方行列のなす集合 M_{n}(ℝ) は通常の算法によって環になることを定義に沿って説明しなさい。

問題 2.12. M_{n}(ℝ) の元 A が零因子である必要十分条件は det(A) = 0 であることを示しなさい。

問題 2.13. 環 R の元 c がある正整数 n により c^{n} = 0 となるとき、 c を巾零元と言います。もし R が単位元 1 を持ち、 c が R の巾零元とするならば、 1 − c は R の単元となることを示しなさい。

問題 2.14. 有限個の元しか持たない整域は、体となることを示しなさい。

問題 2.15. 実数体 ℝ 上の n-次元ベクトル空間 ℝ^{n} の n + 1 個の元 X_{0}, X_{1}, …, X_{n} は線型独立でないことを次の順序で言いなさい。 (n についての帰納法)

1. 対応

ℝ^{n−1} ∋ ( a_{1} ; a_{2} ; ⋮ ; a_{n−1}) ⟼ ( 0 ; a_{1} ; a_{2} ; ⋮ ; a_{n−1}) ∈ ℝ^{n}

によって、 ℝ^{n−1} を ℝ^{n} の部分ベクトル空間とみることができます。 2.

X_{0} = (x_{01} ; x_{02} ; x_{03} ; ⋮ ; x_{0n}) , X_{1} = (x_{11} ; x_{12} ; x_{13} ; ⋮ ; x_{1n}) , X_{2} = (x_{21} ; x_{22} ; x_{23} ; ⋮ ; x_{2n}) , X_{3} = (x_{31} ; x_{32} ; x_{33} ; ⋮ ; x_{3n}) , ⋯, X_{n} = (x_{n1} ; x_{n2} ; x_{n3} ; ⋮ ; x_{nn})

と成分表示したとき、 x_{01} = x_{11} = x_{21} = ⋯ = x_{n1} = 0 と、どのベクトルの第一成分も 0 ならば、 (1) により n が一つ小さい場合に帰着されるので良い。

3. ある k_{0} について、 x_{k_{0}1} = 0 ならば、 ℝ^{n−1} の n-個の元

Y_{i} = X_{i} − x_{k_{0}1}^{−1}X_{k_{0}} (i = 0, 1, …, k_{0} − 1, k_{0} + 1, …, n)

について帰納法の仮定を用いてみなさい。問題 2.16. M_{n}(ℝ) の元 A を一つとります。このとき、

1. (n^{2} + 1)-個の元 {A^{k} (k = 0, 1, 2, …, n^{2})} は M_{n}(ℝ) の中で一次独立ではないことを示しなさい。

2.

A^{N} + c_{N−1}A^{N−1} + c_{N−2}A^{N−2} + ⋯ + c_{1}A + c_{0} = 0

となる自然数 N と、実数 c_{N−1}, c_{N−2}, …, c_{0} が存在することを示しなさい。

注意 2.1. ひょっとしたらベクトル空間と言うのは ℝ-上のものしか習ったことがないかもしれませんが、体 K-上のベクトル空間もまったく同様に定義できて、線型代数の教科書に出てくるほとんどのことは K-上のベクトル空間に対して成り立ちます。 (要するに、足し算、掛け算、割り算しか使わないでしょう。 ) 以後、時々体 K 上のベクトル空間の話を問題に出しますが、分からなければ K = ℝ または K = ℂ と思っても差し支えありません。 (そうやったからといって問題が簡単になるわけではないです。 )

問題 2.17. 体 K 上の多項式

f(X) = a_{N}X^{N} + a_{N−1}X^{N−1} + ⋯ + a_{1}X + a_{0}

と、 K の元を要素に持つ n-次正方行列 A に対して、 f(A) というのを、

f(A) = a_{N}A^{N} + a_{N−1}A^{N−1} + ⋯ + a_{1}A + a_{0}E (E は単位行列)

で定義します。もちろん f(A) も K の元を要素に持つ n-次正方行列です。 (なお、 n-次正方行列の全体を M_{n}(K) と書きます。 ) これを踏まえて次の問題を解きなさい。

1. 任意の A ∈ M_{n}(K) に対して、 K 上のある多項式 f(X)(≠ 0) が

存在して、

f(A) = 0

を満たすことを示しなさい。

2. 任意の A ∈ M_{n}(K) と K 上の任意の多項式 g(X), h(X) に対して、

g(A)h(A) = (gh)(A)

が成り立ちます。 (ここで gh は g と h の多項式としての積のことです。 ) これを次の場合に確かめなさい。

(a) A = (\begin{matrix}5 & 3 \\ −4 & −2 \end{matrix}) , g(X) = X − 1, h(X) = X − 2

(b) A = (\begin{matrix}5 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & −2 \end{matrix}) , g(X) = X − 5, h(X) = X + 2

(c) A=あなたが好きな 3-次正方行列、 g(X), h(X):同様 (易しすぎないこと)

問題 2.18. 次の各行列 A ∈ M_{n}(ℂ) に対して、 f(A) = 0 となるような ℂ 上の多項式 f(X)(≠ 0) をそれぞれ一つずつ求めなさい。

1. n = 3, A = (\begin{matrix}3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

2. n = 2, A = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix})

3. n = 2, A = (\begin{matrix}1 & −1 \\ 1 & 1 \end{matrix})

4. E (単位行列)

5. 0 (零行列)

問題 2.19. 次の各行列 A ∈ M_{n}(ℂ) に対して、 f(A) = 0 となるような ℂ 上の多項式 f(X)(≠ 0) をそれぞれ一つずつ求めなさい。

1. n = 3, A = (\begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

2. n = 3, A = (\begin{matrix}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix})

3. n = 3, A = (\begin{matrix}1 & −1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix})

4. n = 2, A = (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) (a, b, c, d は複素数)