代数学 A(後期) 演習問題 NO.3

3. 環の準同型、イデアルの定義編

以下、特に断らない限り、「環」といえば単位元をもつ環のことを言うことにします。

定義 3.1. R, S を単位元をもつ環とします。 R から S への写像 f : R → S が (環の) 準同型写像であるとは、

f(a + b) = f(a) + f(b)
f(ab) = f(a)f(b)
f(1) = F (1)

がそれぞれすべての a, b ∈ R について成り立つときに言います。

問題 3.1. ℚ 上の一変数多項式環 (一変数多項式全体のなす環) ℚ[X] から、 ℚ への写像 ϕ を

ℚ[X] ∋ f ↦ f(3) ∈ ℚ

で定義します。このとき、 1. ϕ(X^{3} + 2X + 1) を求めなさい。

2. ϕ が準同型写像であることを言いなさい。

問題 3.2. 環の間の写像 f : R → S が準同型写像であるとき、次のことを示しなさい。

1. f(0) = 0, f(−a) = −f(a) (∀a ∈ R)

2. f(3x^{4} + 5x^{3} − 2x^{2} + 7x − 8) = 3f(x)^{4} + 5f(x)^{3} − 2f(x)^{2} + 7f(x) − 8 (∀x ∈ R)

問題 3.3. 環準同型 f : R → S について、 T が R の部分環であれば、 f(T) は S の部分環であることを示しなさい。

定義 3.2. 環準同型 ϕ : R → S の核 (kernel) とは、 ϕ^{−1}(0) のことです。すなわち、

ker(ϕ) = ϕ^{−1}(0) = {a ∈ R; ϕ(a) = 0}

問題 3.4. 問題 3.1 の準同型の核を求めなさい。

問題 3.5. 有理数体 ℚ 上の多項式環 ℚ[X] から複素数体 ℂ への写像 ϕ : ℚ[X] → ℂ を ϕ(f(X)) = f(\sqrt{2}) で定義します。このとき ϕ は環の準同型で ker ϕ は (X^{2} − 2)ℚ(X) となることを示しなさい。

定義 3.3. 環 R の部分集合が R のイデアルであるとは、 1. I は (R, +) の部分加群である。

2. r ∈ R, a ∈ I ⟹ ra ∈ I, ar ∈ I の二条件が成り立つときに言います。

問題 3.6. 環 R の部分集合 {0} は R のイデアルであることを示しなさい。 (通常 {0} を単に 0 であらわします。 )

問題 3.7. 環の間の準同型 f : R → S の核 ker(f) は R のイデアルであることを示しなさい。問題 3.8. I, J が環 R のイデアルならば、 I ∩ J も R のイデアルであることを示しなさい。

問題 3.9. I, J が環 R のイデアルならば、

I + J = {a + b; a ∈ I, b ∈ J}

も R のイデアルであることを示しなさい。

問題 3.10. I, J が可換環 R のイデアルならば、

IJ = {∑_{i} a_{i}b_{i}(有限和); a_{i} ∈ I, b_{i} ∈ J} (注意)

も R のイデアルとなることを示しなさい。

問題 3.11. 可換環 R の巾零元全体

P = {x ∈ R; x^{n} = 0(∃n ∈ ℤ_{>0})}

は R のイデアルとなることを示しなさい。

定義 3.4. 単位元を持つ可換環 R 上の一変数多項式とは、

a_{n}X^{n} + a_{n−1}X^{n−1} + a_{n−2}X^{n−2} + ⋯ + a_{1}X + a_{0} (a_{n}, …, a_{0} ∈ R)

のように表されるもののことです。 R 上の一変数多項式の全体は環をなします。これを R 上の一変数多項式環と言って、 R[X] であらわします。以下面倒なので《一変数多項式》が出てくる問題では、 R は単位元を持つ可換環であると仮定していることにします。

問題 3.12. (単位元を持つ可換) 環 R 上の一変数多項式 f(X) と R の元 a について、 f(a) = 0 ならば、

f(X) = (X − a)g(X) g(X) ∈ R[X]

とあらわせることを示しなさい。

定義 3.5. 前回定義するのを忘れましたが、環 R の元 a は、

ab = 0

なる b(≠ 0) ∈ R が存在するとき、左零因子と呼ばれます。右零因子も同様に定義されます。可換環では、左右の区別がいらないので、単に零因子と呼びます。零因子が 0 しかない可換環を整域と呼びます。

問題 3.13. 整域 R 上の一変数多項式 f(X) は、 R に高々 d 個しか根を持たないことを示しなさい。

問題 3.14. 可換環 R 上の一変数多項式 f(X) の係数のうちに非零因子があれば、 f(X) は R[X] の非零因子となることを示しなさい。

問題 3.15. 有理数体 ℚ 上の二変数多項式環 ℚ[X, Y] の次のイデアル I, J をなるべく簡単な生成元で表しなさい。

I = (X +Y (X +1), Y, X^{2}), J = (X +Y, X +Y^{2}, X +Y^{3}, X +Y^{4}, X +Y^{5})

問題 3.16. 閉区間 [0, 1] 上の連続関数全体のなす環 R = C([0, 1]) を考えます。次のものは R のイデアルになりますか？

1. S_{1} = {f ∈ R; f(1/2) = 0}

2. S_{2} = {f ∈ R; f(1/2) = 1}

3. S_{3} = {f ∈ R; f(x) = 0 がすべての x ∈ [1/2, 1] について成り立つ}

4. S_{4} = {f ∈ R; f(x) = 1 がすべての x ∈ [1/2, 1] について成り立つ}

問題 3.17. 開区間 (0, 1) 上の連続関数全体のなす環 R = C(0, 1) の部分集合

S = {f ∈ R; lim_{x→0} f(x) = 0}

は R のイデアルになりますか？

問題 3.18. 1. 開区間 (0, 1) 上の連続関数全体のなす環 R = C(0, 1) の部分集合

S = {f ∈ R; f は (0, 1) で有界}

は R の部分環であることを示しなさい。

2. S の部分集合

I = {f ∈ S; lim_{x→0} f(x) = 0}

は S のイデアルであることを示しなさい。