代数学 A(後期) 演習問題 NO.9

9. 一意分解環・単項イデアル整域・ユークリッド整域編 (1)

今回も「環」といえば単位元を持つ可換環であるとし、「環の準同型」は単位元を保つものだけを考えることにします。

定義 9.1. 整域 R が一意分解環 (unique factorization domain:UFD) であるとは、 R \ {0} の任意の元 x が素元の積に

x = p_{1}p_{2} … p_{k}(p_{1}, …, p_{k} は R の素元)

のように書けるときに言います。 (p_{1}, …, p_{k} の中には同じものがあってもよい。 )

定義 9.2. 整域 R が単項イデアル整域 (principal ideal domain:PID) であるとは、 R のすべてのイデアルが単項イデアル (一つの元で生成されるイデアル) であるときに言います。

定義 9.3. 整域 R がユークリッド整域 (Euclidian domain:ED) であるとは、整列順序集合 W と写像 ρ : R → W ( 「重さ」を調べる写像) があって、次の性質を満たすときに言います。

1. R の元 a の「重さ」 ρ(a) が最小 ⇔ a = 0

2. R の元 a, b (a ≠ 0) に対して、

b = aq + r, q, r ∈ R, ρ(r) < ρ(a)

となる q, r が存在する。

これから暫くの間 (3 回ぐらい) 上の３つのタイプの環が主題になります。基本的には、

ED ⟹ PID ⟹ UFD

という事実と、諸例、それに定義の意味が分るようになれば OK です。まず上に上げた定義のうちの幾つかの用語に関する問題から始めます。

問題 9.1. 環 R の元 a について、次の二つは同値であることを示しなさい。

1. a は素元である。すなわち a が bc を割り切れば、 b か c かのどちらかは a の倍元である。

2. a で生成される R のイデアル aR は素イデアルである。

例題 9.1. (整列集合の定義の確認)R をユークリッド整域とし、 ρ : R → W を定義 9.3 に出てくる写像とします。この時、任意の R の部分集合 S に対して、 S の中で重さが最小のもの ( 「一番軽いもの」 ) があることを示しなさい。

「W が整列集合である」とは、「W の任意の部分集合 X は最小元を持つ」ということでした。そこで、「S の元の重さの集合」

{ρ(a); a ∈ S}

を X として採用すると、この中に最小元がある筈です。これを ρ(a_{0}) とすれば、 a_{0} が求めるものということになります。 (注意：一番軽い元は一つとは限りません。 )

問題 9.2. ユークリッド整域は単項イデアル整域であることを示しなさい。 (ヒント： R をユークリッド整域とし、 I をそのイデアルの一つとします。 I = 0 なら単項 (0 で生成される) のでよい。 I ≠ 0 なら、 I \ {0} の元のうち、一番軽い元をとってみなさい。 )

問題 9.3. ℤ はユークリッド整域であることを、定義に沿って示しなさい。 (W =?, ρ =?)

問題 9.4. 体 K 上の一変数多項式環 K[X] はユークリッド整域であることを、定義に沿って示しなさい。

今まで注意しませんでしたが、たとえば ℤ[\sqrt{2}] というのは、「ℤ に \sqrt{2} を付け加えてできる (最小の) 環」と言う意味です。これを、《ℤ 上 \sqrt{2} で生成される環》ともいいます。

例題 9.2. ℤ[\sqrt{2}] = ℤ + ℤ\sqrt{2}(= \{m + n\sqrt{2}; m, n ∈ ℤ\}) であることをしめしなさい。

基本的には、「生成する部分群」とか、「生成するイデアル」のときの議論と同様にするとよい。簡単のため R = ℤ[\sqrt{2}] と書くと、

1. ℤ ⊂ R, \sqrt{2} ∈ R (定義からわかる。 )

2. n ∈ ℤ ⟹ n\sqrt{2} ∈ R ((1) と、環は乗法について閉じていることからわかる。 )

3. m, n ∈ ℤ ⟹ m + n\sqrt{2} ∈ R ((1),(2) と、環は加法について閉じていることから分かる。 )

4. ℤ + ℤ\sqrt{2} ⊂ R ((3) を集合の言葉に言い直したにすぎない。 )

5. ℤ + ℤ\sqrt{2} は環 (ℂ の部分環) である。 ( 足し算、引き算、掛け算について閉じている。 )

6. R の最小性により、 R = ℤ + ℤ\sqrt{2}。

問題 9.5. ℤ[\sqrt{−1}] = ℤ + ℤ\sqrt{−1} であることを示しなさい。

問題 9.6. ω = \frac{−1+\sqrt{−3}}{2} (１の三乗根の一つ) とするとき、 ℤ[ω] = ℤ + ℤω + ℤω^{2} であることを示しなさい。

問題 9.7. ℚ[\sqrt{2}] は体であることを示しなさい。

問題 9.8. ℚ[\sqrt{−1}] は体であることを示しなさい。

問題 9.9. ω = \frac{−1+\sqrt{−3}}{2} (１の三乗根の一つ) とするとき、 ℚ[ω] は体であることを示しなさい。

問題 9.10. ℤ[\sqrt{−1}] は「重み関数」 ρ を

ρ : ℤ[\sqrt{−1}] →ℤ_{≥0}
∪∣  ∪∣
m + n\sqrt{−1} ↦m^{2} + n^{2}

で定義することにより、ユークリッド環となることを示しなさい。 (ヒント： α, β ∈ ℤ[\sqrt{−1}], β ≠ 0 とするとき、 α を β で割った商を求めるには、 α/β を ℤ[\sqrt{−1}] の元で近似してみなさい。 )

問題 9.11. 1. 任意の複素数 z に対して、ある γ ∈ ℤ[\sqrt{−2}] があって、 z と γ との距離 |γ − z| は 1 以下であることを示しなさい。 (ヒント：複素平面上に ℤ[\sqrt{−2}] の元をプロットしてみなさい。 )

2. ℤ[\sqrt{−2}] は「重み関数」 ρ を

ρ : ℤ[\sqrt{−2}] →ℤ_{≥0}
∪∣  ∪∣
m + n\sqrt{−2} ↦m^{2} + 2n^{2}

で定義することにより、ユークリッド環となることを示しなさい。

問題 9.12. ω = \frac{−1+\sqrt{−3}}{2} (1 の三乗根の一つ) とします。このとき、 ℤ[ω] はユークリッド環であることを示しなさい。

問題 9.13. 次の ℤ[\sqrt{−1}] のイデアルを簡単な形になおしなさい。 1. (3 + 4\sqrt{−1}, 5)

2. (5 + 12\sqrt{−1}, 13)

3. (7 + 8\sqrt{−1}, 9)

問題 9.14. 単項イデアル整域 R の元 a, b について、 R のイデアル I = (a, b) は、 (R が単項イデアル整域だから、 ) ある一つの元 d で生成されるイデアル (d) に一致する筈です。この d は a, b の最大公約元であること、すなわち、

1. d は a, b の公約元である。 (つまり a = da′, b = db′ となる a′, b′ ∈ R が存在する。 )

2. d′ ∈ R が a, b の公約元ならば、 d′ は d の約元である。ということを示しなさい。

上の問題により、単項イデアル整域では、最大公約元が数のときと同様に扱えます。

問題 9.15. α を ℤ[\sqrt{−1}] の素元とします。このとき、 |α|^{2} は素数か、素数の 2 乗かのいずれかであることを示しなさい。 (ヒント:素数 p ∈ ℤ が |α|^{2} の約数ならば、 p|α\overline{α}. p と α との最大公約元をとってみなさい。 )

ユークリッド環においては、《ユークリッドの互除法》によって最大公約元を求めることができます。 (互除法を知らない人は例えば代数演習 p.12 を参照) 手始めに次の問題をどうぞ。

問題 9.16. 次の環 R の二つの元の最大公約数をユークリッドの互除法により求めなさい。

1. R = ℤ;100010, 10124

2. R = ℂ[X];X^{10} − 1, X^{12} − 1

例題 9.3. ℤ[\sqrt{−1}] において、 3+4\sqrt{−1}, 15 の最大公約元を求めなさい。

|15| = 15 > 5 = |3 + 4\sqrt{−1}| だから、まず 15 を 3 + 4\sqrt{−1} で割ってみる。

\frac{15}{3 + 4\sqrt{−1}} = \frac{9 − 12\sqrt{−1}}{5} = 1.8 − 2.4\sqrt{−1}

この商にもっとも近いのは 2 − 2\sqrt{−1}.

10 − (3 + 4\sqrt{−1})(2 − 2\sqrt{−1}) = 1 − 2\sqrt{−1}

ゆえに、 15 を 3 + 4\sqrt{−1} で割った《余り》は 1 − 2\sqrt{−1}. こんどは 3 + 4\sqrt{−1} を 1 − 2\sqrt{−1} で割る。割り切れるので、答えは 1 − 2\sqrt{−1}.

問題 9.17. ℤ[\sqrt{−1}] において、次の各組の最大公約元を求めなさい。 1. 12 + 36\sqrt{−1}, 5 + 13\sqrt{−1}

2. 7 + 8\sqrt{−1},226

問題 9.18. ℤ[\sqrt{−2}] において、次の各組の最大公約元を求めなさい。 1. 2 + 3\sqrt{−2}, 11 + 22\sqrt{−2}

2. 5 + 3\sqrt{−2},129

問題 9.19. K を体とします。このとき、

1. K[X] の元 f が素元であるための必要十分条件は、 f が既約多項式であることなのを示しなさい。

2. f ∈ K[X] が既約多項式ならば、 f で生成されるイデアルは K[X] の極大イデアルであることを示しなさい。

3. ℝ[X]/(X^{2} + 1) が何であるか答えなさい。

問題 9.20. 環 R の元 a, b, x, y, p, z に関して、次の関係が成り立つとします。

1. ax + py = 1 (これは、 a, p で生成される R のイデアルが R に一致するということと同じである。 )

2. pw = ab (これは、 ab が p で割り切れるということと同じである。 ) この時、 b は p で割り切れることを示しなさい。

問題 9.21. R を単項イデアル整域、 p をその一つの既約元 (すなわち、《p = qr のように p を R の元の積に分解したとすると、 q, r の何れかは R の単元である》ような元) とします。このとき、

1. R の任意の元 a に対して、次のいずれかが成り立つことを示しなさい。

(a) ある x, y ∈ R があって、 ax + py = 1 が成り立つ。

(b) a は p で割り切れる。 (ヒント： a, p の最大公約元を考えてみなさい。 )

2. p は R の素元であることを示しなさい。

問題 9.22. 既約ではあるが素元ではないような元の存在するような整域の例を見つけなさい。