代数学 A 演習問題 NO.8

8. 正規部分群編

群の部分群による剰余集合が、「自然なやり方で」群になるには、その部分群が正規部分群であればよろしい。

定義 8.1. G を群、 K をその部分群とする。 K が G の正規部分群であるとは、任意の g ∈ G と任意の h ∈ K とに対して、

ghg^{−1} ∈ K

が成り立つときに言います。

問題 8.1. 次の各組 (G, S) について、 S は G の部分群であるか、理由をつけて答えなさい。

1. G = ℤ, S = {0, 1, 2, …, }.

2. G = ℤ, S = kℤ (k = 0, 1, 2, …).

3. G = ℤ, S = ℝ.

4. G = GL_{n}(ℝ), S = SL_{n}(ℝ). 但し、

GL_{n}(ℝ) = {A; A は実数を成分に持つ n 次の正方行列で、 det(A) ≠ 0 }, SL_{n}(ℝ) = {A; A ∈ GL_{n}(ℝ), det A = 1}.

(行列式の諸性質は自由に用いてよい。 )

問題 8.2. 3 次の対称群 𝔖_{3} の部分集合 {(1), (1 2)} は 𝔖_{3} の部分群ではあるが、正規部分群ではないことを示しなさい。

問題 8.3. 𝔖_{3} の部分集合 S で、条件

gSg^{−1} = S (∀g ∈ 𝔖_{3})

は満たすけれども 𝔖_{3} の正規部分群ではないものの例を一つ挙げなさい。

問題 8.4. 4 次の対称群 𝔖_{4} の正規部分群 N が (1 2) を元として含めば、 1. N は (2 3), (3 4) も元として含むことを示しなさい。

2. N は 𝔖_{4} 全体に一致しなければならないことを示しなさい。

問題 8.5. 正の整数 k を一つ固定して、 H = kℤ とおきます。 G = ℤ の元 x, y, z, w が、

x ≡ y(mod H), z ≡ w(mod H)

を満たすとすると、 x + z ≡ y + w(mod H) と言えるかどうか？理由を述べて答えなさい。

問題 8.6. 前問で、 G として ℤ のかわりに 𝔖_{3} をとり、 H として {(1), (1 2)} をとります。 G の元 x, y, z, w が、

x ≡ y(mod H), z ≡ w(mod H)

を満たすとすると、 xz ≡ yw(mod H) と言えるかどうか？理由を述べて答えなさい。

問題 8.7. G は群であるとし、 N はその正規部分群であるとします。 G の元 x, y, z, w が、

x ≡ y(mod N), z ≡ w(mod N)

を満たすとすると、 xz ≡ yw(mod N) が成り立つことを示しなさい。問題 8.8. G は群であるとし、 N はその正規部分群であるとします。 G の元 g にたいし、その G/N でのクラスを [g] と書くことにします。このとき、 G/N 上の演算 ϕ (つまり、写像 G/N × G/N → G/N ) を、

ϕ([x], [y]) = [xy]

で定めることができることを示しなさい。 (問題点はどこですか？ N が G の正規部分群ではなくて単なる部分群だとどこが困りますか？ N が G の部分群ですらない時にはどこが困りますか？ )

問題 8.9. 前問で、 (G/N, ϕ) は群になることを示しなさい。

定義 8.2. 前問のように、 G が群、 N がその正規部分群であれば、 G/N には群の構造が入ります。この群のことを G の N による剰余群といいます。なお、 G/N の演算を表す記号 (+ or ×) は、 G の演算を表す記号と同じものが使われるのが普通です。

問題 8.10. ℤ/300ℤ での足し算 ([175] + [200]) + [50] を簡単な形に直しなさい。また、 [150] + [x] = [0] を満たす正の整数 x の例を一つ挙げなさい。

問題 8.11. G を群とし、その上の同値関係 ∼ が定まっているとします。 G/ ∼ に乗法を、

\overline{a}\overline{b} = \overline{ab} (a, b ∈ G; \overline{a} 等は a 等のクラスを表す。 )

で定めようと思います。この乗法が代表元の取りかたによらずにうまく定義される (すなわち、《a ∼ x, b ∼ y ならばいつでも\overline{ab} = \overline{xy} が成り立つ》 ) ならば、

N = {x ∈ G; x ∼ e}

は G の正規部分群となり、 a ∼ b と a ≡ b (modN) とは同値になる。ということをしめしなさい。

問題 8.12. 群 G とその正規部分群 N が与えられているとします。このとき、次の二つは同値であることを示しなさい。

1. ある n ∈ N があって、 xn = y と書ける。

2. ある n ∈ N があって、 nx = y と書ける。

問題 8.13. 前問で、「N が G の正規部分群である」と言う条件を「N が G の部分群である」に置き換えると、 1. と 2. とは同値でなくなることを、実例を挙げて示しなさい。