代数学 A 演習問題 NO.11

11. 準同型定理編

今回は、一学期の目標である《群の準同型定理》について出題します。

定理 11.1 (群の準同型定理).群 G から別の群 H への準同型写像 ϕ : G → H が与えられたとする。このとき、次が成り立つ。

1. ϕ の像 Image ϕ は H の部分群である。 (問題 11.1)

2. ϕ の核 N = Ker ϕ は G の正規部分群である。 (問題 9.13)

3. 剰余群 G/N は Image ϕ と同型である。

問題11.1-11.5(および前回以前)の問題にはこの定理を使っては\underline{いけません}。

問題 11.1. 群 G から別の群 H への準同型写像 ϕ : G → H が与えられたとします。このとき、

1. Image ϕ は H の部分群であることを示しなさい。

2. ψ : G → Image ϕ を、 ψ(g) = ϕ(g) で定義すると、 ψ は全射準同型写像になることを示しなさい。

3. ϕ が単射だとすると、 ψ は同型になることを示しなさい。

問題 11.2. ℤ から位数 n の巡回群 C_{n} = ⟨g; g^{n} = e⟩ への写像 f を f(k) = g^{k} で定めます。このとき、

1. f は群の準同型写像であることを示しなさい。

2. Ker(f) = nℤ であることを示しなさい。

3. ℤ 上の関係 ∼ を、

k ∼ l ⇔f(k) = f(l)

で定めると、 ∼ は同値関係になります。これを示しなさい。 4. ∼ は実は nℤ を法とする同値関係と等しいこと、すなわち、任意

の k, l ∈ ℤ にたいし、

k ≡ l(mod nℤ) ⇔ k ∼ l

が成り立つことを示しなさい。

5. f̄: ℤ/nℤ → C_{n} を、 f̄([k]) = g^{k} で定めると、 f̄ は ℤ/nℤ から C_{n} への同型写像になることを示しなさい。ただし、ここで [?] は整数 ? の ℤ/nℤ での同値類を表すものとします。

上の問題のように、 C_{n} は ℤ/nℤ と同型であるので、今後は C_{n} という記号は使わずに、 ℤ/nℤ を使うことにします。 ℤ/nℤ の元は、 ¯3 のように上に線をつけて表すか、 [3] のように角括弧で囲って表わされることが多いです。この演習では、 [?]_{n} と書けば整数 ? の ℤ/nℤ での同値類を表すことにします。演算は”+” で書きます。

[4]_{n} + [5]_{n} = [9]_{n}

等々。

問題 11.3. 群 G から別の群 H への準同型写像 ϕ : G → H が与えられたとします。このとき、

1. G 上の関係 ∼ を

g_{1} ∼ g_{2} ⇔ ϕ(g_{1}) = ϕ(g_{2})

で定義すると、これは同値関係であることを示しなさい。 2. ∼ は N を法とする同値関係と一致することを示しなさい。

3. G/N から H への写像φ を、 φ([g]) = ϕ(g) で定義すると、 φ は群の準同型写像になることを示しなさい。ただし、ここで [?] は G の元 ? の G/N での同値類を表すものとします。

4. φ は単射であることを示しなさい。

問題 11.4. ℤ/9ℤ から ℤ/3ℤ への写像 f を

f([n]_{9}) = [n]_{3}

で定めます。このとき、 1. f は全射準同型写像であることを示しなさい。

2. f によって ℤ/9ℤ の各元が ℤ/3ℤ のどの元にうつるか？対応表を書き上げることによって示しなさい。

3. f によって同じもの同士を同じクラスにしてℤ/9ℤ をクラス分けし、クラス分けの表を書きなさい。

4. Ker f を求めなさい

5. ℤ/9ℤ を Ker f を法としてクラス分けしなさい。

問題 11.5. ℤ/8ℤ から ℤ/6ℤ への写像 f を

f([n]_{8}) = [3n]_{6}

で定めます。このとき、 1. f は準同型写像であることを示しなさい。

2. f の像を求めなさい。

3. f によって ℤ/8ℤ の各元が ℤ/6ℤ のどの元にうつるか？対応表を書き上げることによって示しなさい。

4. f によって同じもの同士を同じクラスにしてℤ/8ℤ をクラス分し、クラス分けの表を書きなさい。

5. f の核を求めなさい

6. ℤ/8ℤ を Ker f を法としてクラス分けしなさい。

問題 11.6. 有限群 G が一つの元 g で生成されているとき、 G は有限巡回群と同型であることを示しなさい。

問題 11.7. 無限群 G が一つの元 g で生成されているとき、 G は ℤ と同型であることを示しなさい。

問題 11.8. 群 G が与えられているとします。 G の元 g を一つ決めると、 ℤ から G への準同型写像 ϕ で、 ϕ(1) = g を満たすものがただ一つ存在することを示しなさい。さらに、このことを用いて、 ℤ から群 G への準同型の全体は、 G の元と一対一に対応することを示しなさい。

問題 11.9. 有限巡回群 C_{k} = ℤ/kℤ から群 G への準同型の全体は、

{g ∈ G; g^{k} = e}

と一対一対応することを示しなさい。

問題 11.10.

1. 20ℤ は 4ℤ の正規部分群であることを示しなさい。

2. 写像 f : ℤ → ℤ/5ℤ を、 f(x) = [x]_{5} で定義すると、 f は準同型写像になることを示しなさい。

3. 上の f の核を求め、 4ℤ/20ℤ が ℤ/5ℤ と同型であることを示しなさい。問題 11.11. m, n はそれぞれ正の整数であるとします。この時、 mℤ/mnℤ は ℤ/nℤ と同型であることを示しなさい。

問題 11.12. a, b, c, d, n はそれぞれ正の整数であるとします。写像 f : aℤ/abℤ → cℤ/cdℤ を、 f([ax]_{ab}) = [nx]_{cd} (x ∈ ℤ) で定義しようと思います。この写像が準同型になるのは a, b, c, d, n にどのような関係があるときか、答えなさい。

問題 11.13. 複素数 z に対して、その共役を z̄ であらわします。このとき、

1. ℂ ∋ z ↦ z̄ ∈ ℂ は複素数全体のなす加法群 (ℂ, +) からそれ自身への同型写像を与えることを示しなさい。

2. ℂ^{×} ∋ z ↦ z̄ ∈ ℂ^{×} は複素数全体から 0 を除いたもののなす乗法群 (ℂ^{×}, ×) からそれ自身への同型写像を与えることを示しなさい。

問題 11.14. 複素数を成分に持つ行列 A = (a_{ij}) に対して、その随伴行列 A^{∗} を、

A^{∗} = (ā_{ji})

で定義します。 (すなわち、 A^{∗} は、 A の転置行列^{t}A の各行列成分についておのおのの複素共役をとったものです。 ) 例えば、

(\begin{matrix}1 & 4 + 5i \\ 2 + 3i & 6 + 7i \end{matrix})^{∗} = (\begin{matrix}1 & 2 − 3i \\ 4 − 5i & 6 − 7i \end{matrix})

と言う具合です。この時、

1. 複素数を成分に持つ n-次正方行列 (=n×n-行列) 全体を M_{n}(ℂ) と書けば、 M_{n}(ℂ) ∋ A ↦ A^{∗} ∈ M_{n}(ℂ) は行列の加法群 (M_{n}(ℂ), +) からそれ自体への同型写像であることを示しなさい。

2. 複素数を成分に持つ可逆 n-次正方行列 (=n×n-行列)全体を GL_{n}(ℂ) と書けば、 GL_{n}(ℂ) ∋ A ↦ (A^{∗})^{−1} ∈ GL_{n}(ℂ) は可逆行列全体のなす乗法群 (GL_{n}(ℂ), ×) (一般線型群と呼ばれる) からそれ自体への同型写像であることを示しなさい。

問題 11.15. 複素数を成分に持つ正方行列 A がユニタリ行列であるとは、 A^{∗}A = I (単位行列)が成り立つ時に言います。さて、ユニタリ行列全体 U(n) は乗法に関して群をなすことを示しなさい。 (U(n) はユニタリ群と呼ばれます。 )

問題 11.16. 1. 写像

det : GL_{n}(ℂ) ∋ A ↦ det(A) ∈ ℂ^{×}

は準同型であることを示しなさい。

2. det(A^{∗}) = \overline{det(A)} であることを示しなさい。

3. A がユニタリ行列なら、 | det(A)| = 1 であることを示しなさい。

問題 11.17. f, g はともに群 G から群 H への準同型であるとします。このとき、

K = {x ∈ G; f(x) = g(x)}

は G の部分群であることを示しなさい。 K は G の正規部分群とは限らないことを、実例を挙げて示しなさい。問題 11.18. 同型

ℝ/ℤ ≅ \{(\begin{matrix}cos(θ) & − sin(θ) \\ sin(θ) & cos(θ) \end{matrix}); θ ∈ ℝ\}

の存在を示しなさい。

問題 11.19. f : G → G′ が群のあいだの準同型で、 G の正規部分群 N が、 f(N) = {e′} (e′ は G′ の単位元) を満たすならば、準同型 g : G/N → G′ が存在して、 f = gι を満たすことを示しなさい。ただし、ここで、 ι : G → G/N は自然な準同型のこととします。

問題 11.20. T = {z ∈ ℂ; |z| = 1} は ℂ^{×} の正規部分群となり、剰余群 ℂ/T はℝ^{×} と同型であるということを示しなさい。

問題 11.21. (レポート問題:提出要領は前のレポートと同じ)(0.3 点) 次の図は 𝔖_{n} の元を (1 2), (2 3), (3 4), …, (n − 1 n) の積であらわす方法を σ = (1 2 3 4) を例にとって示したものです。まず\begin{matrix}1 \\ ◯ \end{matrix} のように、 σ で対応する元同士を曲線で結びます。これを\begin{matrix}2 \\ ◯ \end{matrix} のように縦長く書いて、ぶつ切りにします。注意すべき点は、切り身のひとつにはそれぞれ一つずつしか交差点が来ないようにすることです。これらの切り身はそれぞれ互換に対応しているのが見てとれます。 (下の例では上から順に (3 4), (2 3), (1 2)。 ) あとは置換の合成の順序に注意してそれらの互換を並べればよろしい。さて、

τ = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 3 & 1 & 4 & 5 & 9 & 2 & 6 & 10 & 8 & 7 \end{matrix})

について、同様な絵を書くことにより、これを(1 2), (2 3), (3 4), …, (9 10) の積に分解してください。 (当然絵もレポートの中に入れること、 )