代数学 A 演習問題 NO.12

12. 群の直積編

定義 12.1. 二つの群 G, K の直積とは、直積集合 G × K (G の元と K の元のペア (g, k) 全体のなす集合) に、乗法を

(g_{1}, k_{1}) · (g_{2}, k_{2}) = (g_{1}g_{2}, k_{1}k_{2})

で定義したものです。 (チャンネルが二つあるテレビ、もしくはチャンネルが一つのテレビを二台持ってきたところを想像すればよいでしょう。 )

問題 12.1. 群の直積 G × K は上の乗法によって群になることを示しなさい。

問題 12.2. (0.5 点) ℤ/3ℤ × ℤ/4ℤ について考えてみましょう。これは、右手で三角形、左手で四角形を書く (タクトをふる) 問題と関連付けることができます。

([1]_{3}, [0]_{4}) ↔ 右手を左回りに一回動かす
([0]_{3}, [1]_{4}) ↔ 左手を左回りに一回動かす

さて、 ([1]_{3}, [1]_{4}) の位数は 12 であることを実際にやってみなさい。

問題 12.3. 写像 f : ℤ → (ℤ/3ℤ × ℤ/4ℤ) を、

n → ([n]_{3}, [n]_{4})

で定義します。この時、 1. f は準同型であることを示しなさい。

2. f の核は 12ℤ であることを示しなさい。

3. ℤ/12ℤ と ℤ/3ℤ × ℤ/4ℤ との元の個数を比較して、両者が同型であることを示しなさい。

問題 12.4. m, n を互いに素な正の整数とするとき、同型ℤ/mℤ×ℤ/nℤ ≅ ℤ/mnℤ が存在することを前問と同様の方法を用いて証明しなさい。

問題 12.5. 前問を用いて、 m, n を互いに素な正の整数とするとき、等式 am + bn = 1 を満たす整数 a, b が存在することを示しなさい。

問題 12.6.

1. 写像 f : ℤ → ℤ/3ℤ × ℤ/5ℤ × ℤ/7ℤ を f(n) = ([n]_{3}, [n_{5}], [n]_{7}) で定義すると、これは準同型写像になることを示しなさい。

2. 上の f を用いて、同型

ℤ/105ℤ ≅ ℤ/3ℤ × ℤ/5ℤ × ℤ/7ℤ

の存在を示しなさい。

問題 12.7. 準同型 f : ℝ^{×} → ℝ^{×} を、

f(x) = x^{2}

で定義したとき、次の各問いに答えなさい。 1. f の像を求めなさい。

2. f の核を求めなさい。

3. 同型 ℝ^{×}/{±1} ≅ ℝ_{>0} = {r ∈ ℝ; r > 0} の存在を示しなさい。問題 12.8. 写像 f : ℝ_{>0} × ℝ/ℤ → ℂ^{×} を、

f(r, ū) = r(cos(2πu) + \sqrt{−1} sin(2πu))

により定めると、これはうまく定義できていて、準同型であることを示しなさい。さらに、この準同型は実は同型である (つまり全単射である) ことを示しなさい。

問題 12.9. 写像 f : 𝔖_{k} × 𝔖_{l} → 𝔖_{k+l} を、

[f(σ, τ)](1, 2, 3, …, k, k + 1, k + 2, …, k + l)
=(σ(1), σ(2), σ(3), …, σ(k), k + τ(1), k + τ(2), …, k + τ(l))

により定義すれは、 f は準同型であることを示しなさい。更に、 f は単射であることを示しなさい。

問題 12.10. 群 G が与えられているとします。 G の\underline{正規}部分群 H, K が次の二つの性質を満たすとき、 G は H × K と同型であることを示しなさい。

1. H ∩ K = {e}.

2. G は H ∪ K で生成される。さらに、このとき G/H ≅ K であることも示しなさい。

問題 12.11. 互いに素な整数 m, n が与えられているとします。さらに、 a, b を

am + bn = 1

を満たす整数とします。このとき、同型

f : ℤ/mnℤ ≅ ℤ/mℤ × ℤ/nℤ (f([x]_{mn}) = ([x]_{m}, [x]_{n}))

の逆写像を、 a, b を用いてあらわしなさい。 (f^{−1}([s]_{m}, [t]_{n}) をa, b, s, t, m, n の式であらわしなさい。 )

問題 12.12. G_{1}, G_{2} はそれぞれ元を二つ以上持つ群とします。このとき、 G_{1} × G_{2} には (自明なものも含めて) 少なくとも 4 つの正規部分群があることを示しなさい。