代数学 A NO.1 要約

1. 環・部分環の定義編

この講義の二学期の前半では、次の定理の証明を目標とする。

定理 1.1 (環の準同型定理).環 R から別の群 S への準同型写像 ϕ : R → S が与えられたとする。このとき、次が成り立つ。

1. ϕ の像 Image ϕ は S の部分環である。

2. ϕ の核 I = Ker ϕ は R のイデアルである。

3. 剰余環 R/I は Image ϕ と同型である。

今日のテーマ《環の定義・部分環の定義》環とは、足し算、引き算と掛け算ができる集合のことである。部分環とは、部分集合であって環になっているもののことである。

定義 1.1 (環の定義). 集合 R が環であるとは、足し算と呼ばれる写像

+ : R × R → R

と掛け算と呼ばれる写像

× : R × R → R

が定義されていて次の性質を満たす時に言います。

1. R は足し算に関して可換群をなす。 (R の足し算に関する単位元を R の零元といい、 0 (時には 0_{R}) と書く。 )

2. R の積は結合法則を満たす。

3. R の足し算と掛け算は分配法則を満たす。すなわち、任意のa, b, c ∈ R に対して、次のことが成り立つ。

(a + b) × c = a × c + b × c, c × (a + b) = c × a + c × b

4. R は積に関して単位元を持つ。すなわち、ある u ∈ R が存在して、すべての x ∈ R に対して、 xu = x かつ ux = x が成り立つ。

例 1.1. 次のものは通常の足し算、掛け算によって環になる。 1. (重要) 整数全体のなす集合 ℤ.

2. 有理数全体のなす集合 ℚ.

3. 実数全体のなす集合 ℝ.

4. 複素数全体のなす集合 ℂ.

5. 実数を成分として持つ 2 次の正方行列全体のなす集合 M_{2}(ℝ).

6. (重要) 実数上の一変数多項式全体のなす集合 ℝ[X].

補題 1.1. 環 R の単位元は、ただ一つである。

今後、環 R の単位元を 1 (時には 1_{R}) と書く。

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定義 1.2 (部分環の定義).R が単位元をもつ環であるとする。 R の部分集合 S が R の部分環であるとは、 S が次の条件を満たす時にいう。

1. S は R の足し算、かけ算を流用することにより環になっている。 2. S は R の単位元を元として含む。

例 1.2. 次のものは複素数全体のなす環 ℂ の部分環である。 1. 整数全体の集合 ℤ.

2. 有理数全体の集合 ℚ.

3. 実数全体の集合 ℝ.

4. ℤ + \sqrt{−1}ℤ = \{x + \sqrt{−1}y; x, y ∈ ℤ\}.

※レポート問題つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 ) (I) ℂ の部分環 R が\sqrt{−2} を含んだとします。このとき、 R は ℤ +

\sqrt{−2}ℤ を部分集合として含むことを示しなさい。 (II) ℤ + \sqrt{−2}ℤ は ℂ の部分環であることを示しなさい。