代数学 A NO.2 要約

2. 「生成される部分環」・多項式環編

部分環とは、部分集合であって環になっているもののことである。

定義 2.1 ( 「生成される部分環」 ). R を単位元を持つ環とし、 T をその部分集合とする。 R の部分環 S が T で環として生成されるとは、次の三つの条件が満たされる時にいう。

1. S は T を部分集合として含む。

2. S は R の部分環である。

3. S は 1.,2. を満たす最小のものである。

補題 2.1. 単位元を持つ環 R と、その部分集合 T が与えられていたとする。このとき、 R の部分環 S で、 T で環として生成されるものがただ一つ存在する。 (S のことを T で生成される R の部分環といい、 ⟨T ⟩_{ring} と書く。

注意

「部分環」の定義により、 ⟨T ⟩_{ring} は (T が何であっても) 常に R の単位元 1_{R} を元としてもつ。しかし、単位元の存在を意識しておくために、以下では始めから T には R の単位元 1_{R} が入ったものだけを考えることにする。

例 2.1. ℂ の部分集合 T と、それによって生成される ℂ の部分環⟨T ⟩_{ring} の例。

1. T = {1} ⟹ ⟨T ⟩_{ring} = ℤ.

2. T = \{1, \sqrt{−1}\} ⟹ ⟨T ⟩_{ring} = ℤ + ℤ\sqrt{−1}

3. T = \{1, \sqrt{2}\} ⟹ ⟨T ⟩_{ring} = ℤ + ℤ\sqrt{2}

4. T = ℚ ∪ \{\sqrt{2}\} ⟹ ⟨T ⟩_{ring} = ℚ + ℚ\sqrt{2}

5. T = ℚ ∪ \{\sqrt[3]{2}\} ⟹ ⟨T ⟩_{ring} = ℚ + ℚ\sqrt[3]{2} + ℚ\sqrt[3]{4}

上の補題の証明の途中で、次の補題が必要になるので、ここに掲げておく。

補題 2.2 ( 「任意個数の部分環の共通部分はまた部分環である。」 ). R は環であるとし、 {S_{λ}}_{λ∈Λ} は R の部分環の族であったとする。このとき、

S = ∩_{λ}S_{λ}

もまた R の部分環になる。

実際には、生成される部分環には次のパターンのものがよく使われる。

定義 2.2. R を環、 S をその部分環とする。 R の元 r_{1}, …, r_{n} が与えられたとき、 R の部分集合 S ∪ {r_{1}, …, r_{n}} で生成される部分環を、 S[r_{1}, …, r_{n}] と書き、 S 上 {r_{1}, …, r_{n}} で生成された環とよぶ。

この記法によれば、上の例の 4.,5. はそれぞれ次のように書ける。 ℚ[\sqrt{2}] = ℚ + ℚ\sqrt{2}, ℚ[\sqrt[3]{2}] = ℚ + ℚ\sqrt[3]{2} + ℚ\sqrt[3]{4} 定義 2.3. R は環であるとする。このとき、 X を変数とする R 係数の一変数多項式の全体

{∑_{i=0}^{n} a_{i}X^{i}; n ∈ ℕ, a_{i} ∈ R}

は環をなす。 (足し算、かけ算は通常のものを考える。 ) この環を X を変数とする R 上の一変数多項式環という。

定理 2.1. X を変数とする R 上の一変数多項式環は、 R と、 X とで生成される。

{∑_{i=0}^{n} a_{i}X^{i}; n ∈ ℕ, a_{i} ∈ R} = ⟨R ∪ {X}⟩_{ring} = R[X]

(したがって、これからは R 上の一変数多項式環のことを R[X] と書く。 )

注意

R = ℝ の場合 (ℝ[X]) については前回記号だけ説明した。代数 A の範囲では他に ℂ[X], ℚ[X] 等が重要になる。 (ℝ,ℂ,ℚ は全て\underline{体である}。すなわち積は可換であり、 0 以外の各元は逆元を持つ。 )

※レポート問題つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 ) (I) ℂ の部分環 S が、 1, \sqrt{2} + \sqrt{5} を元として持っているとする。こ

の時、 2\sqrt{10}, 6\sqrt{2}, 6\sqrt{5} も S の元であることを示しなさい。 (II) ℂ の、 \{1, \sqrt{2}, \sqrt{5}\} で生成される部分環は、

ℤ + ℤ\sqrt{2} + ℤ\sqrt{5} + ℤ\sqrt{10}

であることを示しなさい。 (III) M_{2}(ℝ) の、 {E, A} で生成される部分環を求めなさい。ただし、 E

は単位行列、 A は次のような二次行列とします。

A = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix})