代数学 A NO.2 要約

2. 環の準同型とその核の定義

環の間の準同型とは、環の間の写像であって、加減乗算および単位元を保つもののことである。準同型 f の核とは、 f で送った先が 0 になるようなものの全体のことである。

定義 2.1. R, S はともに環であるとし、 f : R → S をその間の写像とする。このとき、 f が R から S への準同型写像であるとは、次の条件が成り立つときにいう。

1. f は (R, +) から (S, +) への群としての準同型である。すなわち、

f(a + b) = f(a) + f(b)

が、すべての R の元 a, b について成り立つ。

2. f は R の積を S の積にうつす。すなわち、

f(ab) = f(a)f(b)

が、すべての R の元 a, b について成り立つ。

3. f は (R の) 単位元を (S の) 単位元にうつす。すなわち、

f(1_{R}) = f(1_{S})

が成り立つ。

(環の単位元といえば、乗法に関する単位元であることに注意。 )

補題 2.1. f : R → S が準同型である時、 f(0_{R}) = f(0_{S}), f(a − b) = f(a) − f(b) が成り立つ。

例 2.1 (環の準同型の例).

1. S は環であるとする。 ℤ から S への写像 f を、

f(n) = n · 1_{S}

で定めると、これは環の準同型である。 ℤ から S への環準同型はこれしかない。

2. A ∈ M_{2}(ℂ) をとって来て、一つ固定する。このとき、

ℂ[X] ∋ p(X) ↦ p(A) ∈ M_{2}(ℂ)

は環の準同型写像である。

3. S を環とし、 S の元 x を一つとって来て、固定する。このとき、写像 f : ℤ[X] → S を、

ℤ[X] ∋ f(X) ↦ f(x) ∈ S

で定めると、 f は環の準同型写像である。 (実は ℤ[X] から S への写像はこのようにして定まるものしかない。 )

4. f : ℂ → M_{2}(ℝ) を、

f(a + b\sqrt{−1}) = (\begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix})

で定義したものを考えると、これは環の準同型である。例 2.2 (環の準同型でない例).次のものは環の準同型では\underline{ない}。

1. f : ℂ → M_{2}(ℝ) を、

f(a + b\sqrt{−1}) = (\begin{matrix}a & b \\ b & a \end{matrix})

で定義したもの。

2. f : ℤ[\sqrt{2}] → ℤ[\sqrt{5}] を、

f(a + b\sqrt{2}) = a + b\sqrt{5} (a, b ∈ ℤ)

で定めたもの。

定義 2.2. f : R → S を環の間の準同型とする。このとき、 1. f の像 Image f とは、 {f(x); x ∈ R} のことである。

2. f の核 Ker f とは、 {x ∈ R; f(x) = 0} のことである。

例 2.3.

A = (\begin{matrix}7 & 0 \\ 0 & 8 \end{matrix})

とし、 ℂ[X] から M_{2}(ℂ) への写像を、

p ↦ p(A)

で定めると、これは準同型写像になり、 1. この準同型の核は、 {p; p(7) = 0 かつ p(8) = 0} となる。

2. この準同型の像は対角行列の全体になる。

補題 2.2. f : R → S を環の準同型とする。このとき f の像は S の部分環である。

※レポート問題つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 ) (I) ℤ[X] から ℤ への写像 f を、

f : ℤ[X] ∋ p ↦ p(5) ∈ ℤ

で定義する時、これが環の準同型写像であることを示し、その核と像を求めよ。

(II)

A = (\begin{matrix}5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix})

とし、 ℂ[X] から M_{2}(ℂ) への写像 f を、

ℂ[X] ∋ p(X) ↦ p(A) ∈ M_{2}(ℂ)

で定める。この時、 f(X^{3} + 5X + 7) を求めなさい。さらに、 f の像と核を求めなさい。

(III) ℂ[X] から M_{2}(ℂ) への写像 f を、

ℂ[X] ∋ p(X) ↦ (\begin{matrix}p(5) & p(6) \\ p(7) & p(8) \end{matrix}) ∈ M_{2}(ℂ)

で定める。このとき、 f(X^{3} + 5X + 7) を求めなさい。さらに、 f は環の準同型写像かどうか、理由をあげて答えなさい。