代数学 A NO.4 要約

4. イデアルの定義

{0} の持つ性質を一般化してイデアルというものを考えることが出来る。準同型の核は、イデアルになる。

定義 4.1. R が単位元をもつ環であるとし、 I をその部分集合とする。 I が R のイデアルであるとは、次の条件が成り立つときにいう。

1. I は (R, +) の部分群である。すなわち、 I は R の加・減法について閉じている。

2. I の元に R の元を右から掛けても左から掛けてもやっぱり I の元になる。すなわち、任意の x ∈ I と任意の r ∈ R について、

rx ∈ I, xr ∈ I

が成り立つ。

注意

簡単にわかることだが、環 R のイデアルが 1 を含むのは、それが R 自身に一致する時に限る。だから、大抵の場合、イデアルは 1 を含まないものだと決めてかかって良い。

例 4.1 (イデアルの例).

1. 任意の環 R に対して、 {0} は R のイデアルである。

2. 10ℤ は ℤ のイデアルである。

3. Xℂ[X] は ℂ[X] のイデアルである。

例 4.2 (イデアルでない例).

1. ℂ の部分集合 ℤ は ℂ のイデアルではない。

2. ℂ[X] の部分集合 ℂX は ℂ[X] のイデアルではない。

3. M_{2}(ℂ) の部分集合 T を、

T = \{(\begin{matrix}a & b \\ 0 & 0 \end{matrix}); a, b ∈ ℂ\}

で定義したものは、 M_{2}(ℂ) のイデアルではない。

補題 4.1. f : R → S を環の間の準同型とする。このとき、 f の核 Ker f(= {x ∈ R; f(x) = 0}) は、 R のイデアルである。

例 4.3. f : ℂ[X] → ℂ を、 f(p) = p(10) で定義すると、これは環準同型であり、その核は (X −10)ℂ[X] となる。上の補題により、 (X −10)ℂ[X] は ℂ[X] のイデアルである。

例 4.4.

A = (\begin{matrix}4 & 0 \\ 0 & 5 \end{matrix})

とし、 ℂ[X] から M_{2}(ℂ) への写像を、

p ↦ p(A)

で定めると、これは準同型写像になり、その準同型の核は、 {p; p(4) = 0 かつ p(5) = 0} となる。上の補題により、これは ℂ[X] のイデアルである。例 4.5. ℤ[X] の部分集合

I = {f(X); f(X) の定数項は偶数}

を考えると、これは ℤ[X] のイデアルになる。

この例のように、一般に、イデアルは「ナントカの倍数全体」になるとは限らない。代数 A のように初級の段階では、上のような例は余りでて来ないが、いつでも上のような例の存在を意識しておくことは大事なことである。

※レポート問題つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 ) (I) ℤ[X] の部分集合

I_{1} = {f(X); f(X) の定数項と一次の項の係数はともに 3 の倍数 }

は ℤ[X] のイデアルであることを示しなさい。 (II) ℤ[X] の部分集合

I_{2} = {f(X); f(X) の定数項は 9 の倍数で、かつ一次の項の係数は 3 の倍数。 }

は ℤ[X] のイデアルであることを示しなさい。 (III) (i) 今まで講義ででて来た以外の ℤ[X] のイデアルの例と、 (ii) ℤ[X]

の部分集合で、加法、減法については閉じているがイデアルではないものの例をあげなさい。 (オリジナルであること (同じように見えても数字が違っていれば大体 OK です。 ))