代数学 A NO.8 要約

今日のテーマ《生成されるイデアル・単項イデアル》

定義 8.1. R を環、 T をその部分集合とする。この時、 T を含む最小のイデアルを、 (R のなかで) T によって生成されるイデアルと呼び、普通 (T) とかく。

補題 8.1. 任意の環 R とその任意の部分集合 T とについて、 T を含む最小のイデアル (すなわち、 T で生成されるイデアル) は存在する。

例 8.1. (生成されるイデアルの例)

1. ℤ のなかで、 {9} で生成されるイデアル (9) は、 9ℤ に等しい。 2. ℤ の中で、 {15, 20} で生成されるイデアル (15, 20) は、 5ℤ に等

しい。

3. ℤ[X] の中で、 {15, 20} で生成されるイデアル (15, 20) は、 5ℤ[X] に等しい。

4. ℤ[X] の中で、 {5, X} で生成されるイデアル (5, X) は、

{p ∈ ℤ[X]; p の定数項は 5 の倍数}

に等しい。

補題 8.2. 可換環 R の元 a_{1}, a_{2}, …, a_{n} に対して、

(a_{1}, a_{2}, …, a_{n}) = Ra_{1} + Ra_{2} + ⋯ + Ra_{n}

がなりたつ。

定義 8.2. 可換環 R のイデアルで、一つの元で生成されるものを単項イデアルと呼ぶ。

例えば上の例 8.1 で 1,2,3 は単項イデアルの例を与えており、 4 はそうではない例を与えている。

補題 8.3. ℤ のイデアルは全て単項イデアルである。

補題 8.4. 任意の体 k に対して、 k[X] のイデアルは全て単項イデアルである。

定義 8.3. 可換環 R の任意のイデアルが単項イデアルである時、 R を単項イデアル環と呼ぶ。

上の二つの補題により、 ℤ, k[X] はともに単項イデアル環であることがわかる。これらの環をうまく扱えるようになるのが、本学期後半の主題である。

次回には、上の証明を「ユークリッドの (互) 除法」の観点から再度考察してみる。

2 代数学 A NO.8

※レポート問題つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 ) (I) X, Y を変数とする ℤ 係数二変数多項式環 ℤ[X, Y] の中で、イデ

アルの間の等式

(X − Y^{5}, Y + 7X^{2} − 7XY^{5}) = (X, Y)

が成立することを示しなさい。 (II) ℂ[X] のイデアル (X^{12} − 1, X^{30} − 1, X^{50} − 1) を生成するような

ℂ[X] の元を求めなさい。すなわち、

(X^{12} − 1, X^{30} − 1, X^{50} − 1) = (f(X))

を満足するような f(X) を見付けなさい。 (III) M_{2}(ℂ) の中で、

A = (\begin{matrix}2 & 4 \\ 6 & 8 \end{matrix})

で生成されるイデアル (A) は M_{2}(ℂ) に一致することを示しなさい。

(IV) 例 8.1 の 4 のイデアル (5, X) は ℤ[X] の単項イデアルではないことを示しなさい。