代数学 A NO.12 要約

今日のテーマ《環の直積分解・１０５減算》一つの環を環の直積に分解すると楽なことがある。環を直積分解するときには、対応する射影を求めるのがポイントになる。

定義 12.1. R_{1}, R_{2} は環であるとする。このとき、 R_{1}, R_{2} の環としての直積とは、デカルト積集合 R_{1} × R_{2} の上に、次のような演算を定義した物である。

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) × (c, d) = (ac, bd)

R_{1} と R_{2} の環としての直積を、普通 R_{1} × R_{2} と書く。

補題 12.1. R_{1}, R_{2} は環であるとする。このとき、

1. R_{1} × R_{2} は環になる。

2. R_{1}, R_{2} の単位元がそれぞれ 1_{R_{1}}, 1_{R_{2}} とすると、 R_{1} × R_{2} の単位元は (1_{R_{1}}, 1_{R_{2}}) である。

3. R_{1}, R_{2} がともに可換ならば、 R_{1} × R_{2} も可換である。

定理 12.1. R は単位元をもつ可換環であるとする。次の性質をもつ R のイデアル I, J が存在すると仮定する。

∃s ∈ I と ∃t ∈ J があって s + t = 1 をみたす。

このとき、 R/(I ∩ J) は R/I × R/J と同型である。

証明は準同型定理を用いれば一発である。

次の二つの補題を用いると、上の定理の適用例がたくさん作れる。

補題 12.2. 単位元をもつ可換環 R の元 x, y, a, b が、関係式 ax+by = 1 を満たせば、

1. I = (x), J = (y) は定理 12.1 の仮定を満たす。

2. I ∩ J = (xy) である。

補題 12.3. R が PID で、その二つの元 x, y ∈ R \ {0} が共通の素因子をもたなければ、 ax + by = 1 となる R の元 a, b が存在する。系 12.1 (環の直積分解の具体例).

1. ℤ/12ℤ は ℤ/3ℤ × ℤ/4ℤ と同型である。

2. ℂ[X]/(X^{2} − X) は ℂ[X]/(X) × ℂ[X]/(X − 1) と同型である。

環の直積分解においては、二つの基本的な元が重要な役割を果たす。

補題 12.4. 1. R_{1}, R_{2} は単位元をもつ可換環であるとする。このとき R_{1} × R_{2} の元 e_{1}, e_{2} を、 e_{1} = (1, 0), e_{2} = (0, 1) によって定めると、次のことが成り立つ。

e_{1}^{2} = e_{1}, e_{2}^{2} = e_{2}, e_{1} + e_{2} = 1, e_{1}e_{2} = 0 (★)

2. R は単位元をもつ可換環であるとする。もし R の元 e_{1}, e_{2} で、 (★) を満たすものが存在すれば、 R は R/(e_{1}) × R/(e_{2}) と同型になる。

上の補題により、環を直積分解したいときには、 (★) を満たす元 e_{1}, e_{2} を探せばいいことがわかる。 e_{1}, e_{2} のことを (直積分解に対応する) 射影と呼ぶ。 ※三つの環 R_{1}, R_{2}, R_{3} の直積も二つの場合と同様に定義される。環 (R_{1} × R_{2}) × R_{3} は R_{1} × R_{2} × R_{3} と同型である。４つ以上でも同様。

例題 12.1.

1. ある整数 n を 3 で割ったら 2 余り、 5 で割ったら 1 余ったとする。このとき、 n を 15 で割った余りはいくらか。

2. ある整数 n を 3 で割ったら 1 余り、 5 で割ったら 2 余り、 7 で割ったら 6 余ったとする。このとき、 n を 105 で割った余りはいくらか？

(解) 一般に、整数 m の ℤ/nℤ におけるクラスを [m]_{n} と書くことにする。 1. 同型 ϕ : ℤ/15ℤ → (ℤ/3ℤ) × (ℤ/5ℤ) が、

ϕ([n]_{15}) = ([n]_{3}, [n]_{5})

により定まる。問題は、 ϕ([x]_{15}) = ([2]_{3}, [1]_{5}) を満たす [x]_{15} を求めることである。 3a + 5b = 1 となる a, b を一組見つける。 (一般にはユークリッドの互除法を用いればよい)

(−3) × 3 + 2 × 5 = 1

左辺の項 −9 と 10 が、 ℤ/15ℤ で射影の役割をする。実際、

ϕ([10]_{15}) = ([1]_{3}, [0]_{5})
ϕ([−9]_{15}) = ([0]_{3}, [1]_{5})

となる (便宜上 −9 と 10 の登場順序を入れ換えた)。 3 で割って 2 余る数 (2) や、 5 で割って 1 余る数 (1) を見つけて来るのはとても易しい。

ϕ([2]_{15}) = ([2]_{3}, [2]_{5})
ϕ([1]_{15}) = ([1]_{3}, [1]_{5})

ミソは、射影を使って邪魔な部分を消せる所にある。

([2]_{3}, [1]_{5}) = ([2]_{3}, [0]_{5}) + ([0]_{3}, [1]_{5})
= ([2]_{3}, [2]_{5}) × ([1]_{3}, [0]_{5}) + ([1]_{3}, [1]_{5}) × ([0]_{3}, [1]_{5})
= ϕ([2]_{15}) × ϕ([10]_{15}) + ϕ([1]_{15}) × ϕ([−9]_{15})
= ϕ([2 × 10 + 1 × (−9)]_{15})
= ϕ([11]_{15})

(答え) 11

2. n を 15 で割った余りを前問のようにして求め、次に ℤ/15ℤ と ℤ/7ℤ に対して再び前問と同様に議論してもよいが、次のようにしても出来る。 ψ : ℤ/105ℤ → ℤ/3ℤ × ℤ/5ℤ × ℤ/7ℤ を、

ψ([n]_{105}) = ([n]_{3}, [n]_{5}, [n]_{7})

で定義すると、これは同型を与える。問題は、 ψ([x]_{105}) = ([1]_{3}, [2]_{5}, [6]_{7}) を満たす [x]_{105} を見つけることである。 (3, 5 × 7), (5, 7 × 3), (7, 3 × 5) の各組についてそれぞれユークリッドの互除法 (あるいは、視察) を適用して、

12 × 3 + (−1) × 35 = 1
(−4) × 5 + 1 × 21 = 1
(−2) × 7 + 1 × 15 = 1

を得る。これらは射影が次のように得られることを示唆している。

ψ([−35]) = ([1], [0], [0])
ψ([21]) = ([0], [1], [0])
ψ([15]) = ([0], [0], [1])

あとは 1. と同様である。 (答) 97

※レポート問題つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 ) (I) 1000 で割ると 56 余り、 1001 で割ると 34 余り、 1003 で割ると

62 余るような整数 n の例を一つ求めよ (途中の計算はある程度省略してよい。 ) コンピュータを用いた場合には、どのような言語 (例えば UBASIC,Visual C など) を用いたのかを明記すること。 (可能ならば、プログラムを印刷したものを解答につけるともっとよい。 )

(II) X^{3} +1 で割ると X +1 余り、 X^{2} +2 で割ると X 余るような ℂ[X]

の元 p(X) の例を一つ求めよ、。 (III) a, b, c は、そのうちのどの二つも相異なるような複素数とし、 ℂ[X]

の元 p(X) を X − a, X − b, X − c で割ったときの余りがそれぞれ e, f, g (∈ ℂ) であったとする。このとき、 p を (X −a)(X −b)(X −c) で割った余りを求めよ。 (答えはある程度きれいな形にしておけば無理に展開しなくてもよい。 )

(IV) M_{2}(ℂ) の元 A を、

A = (\begin{matrix}10 & 8 \\ −3 & 0 \end{matrix})

で定める。このとき、 ℂ[A] を二つの環の直積に分解し、対応する射影 e_{1}, e_{2} を求めよ。 e_{1} ,e_{2} の列ベクトルに A をかけるとどうなるか？