代数学 A NO.1 補足

まず、注意。

環 R が与えられているとき、その部分集合 S が R の部分環であるかどうかは、 1_{R} ∈ S と、 S が加減乗算について閉じていることを示せば十分である。実際、 S のなかでの加法・乗法それぞれの結合法則および分配法則は R でそれらが成り立つことから直ちに従う。

補題 2.2 の証明

S が和、差、積について閉じていることを示そう。 S のの元 a, b を任意にとって来る。まず、 λ_{1} ∈ Λ を任意に一つとって来る。 S の定義により、 a, b は λ_{1} の元でもある。 S_{λ_{1}} は加減乗法について閉じているから、

a ± b, ab ∈ S_{λ_{1}}.

このことが、任意の λ_{1} ついて成り立つことから、

a ± b, ab ∈ ∩_{λ_{1}∈Λ}S_{λ_{1}}.

すなわち、 a ± b, ab ∈ S となり、 S が和、差、積について閉じていることが分かった。

また、各 S_{λ} は R の単位元 1_{R} を含むから、 S も 1_{R} を元として含む。

以上により、 S は R の部分環であることが分かった。

注意。

上の Λ は一般に「添字集合」などとよばれる。これは、 {S_{λ}} に仮に名前をつけたとして、その名前の集合であると考えればよい。諸君にとっては自然数で番号付けるの (Λ = ℕ の場合) が一番分かりやすいかも知れないが、 {S_{λ}} の数 (濃度) は ℕ より多いかも知れないので、仮に Λ とおいておくのである。

補題 2.1 の証明

T を含む R の部分環の全体を、 {S_{λ}}_{λ∈Λ} と書くことにする。 S = ∩_{λ}S_{λ} とおくと、次のことが分かる。

• 補題 2.2 により、 S = ∩_{λ}S_{λ} は R の部分環である。

• T は (すべての S_{λ} に含まれるので、その共通部分の)S に含まれる。

• S は各 S_{λ} よりも小さい。 {S_{λ}} の定義により、上のことは「S が T を含む R の部分環のうち、最小のものである」ということを示していることが分かる。すなわち、 S は T で生成される R の部分環である。

(定理 2.1 の証明は省略する。講義にでなかった人は各自試みられたい。 )