代数学 A 演習問題 NO.7

7. 同値関係編

以下の問題では、 X_{n} = ℤ/ ∼_{n} (a ∼_{n} b ⇔ a − b ∈ nℤ) とし、整数 a の X_{n} における同値類を [a]_{n} (あるいは、 n が明らかな時には単に [a]) とかくことにします。

問題 7.1. 次の各々はそれぞれ写像としてうまく定義されているか、理由をつけて答えなさい。

1. f : X_{20} → X_{5} を f([k]_{20}) = [k]_{5} で “定義”したもの。

2. f : X_{20} → X_{5} を f([k]_{20}) = [3k]_{5} で “定義”したもの。

3. f : X_{20} → X_{5} を f([k]_{20}) = [4k]_{5} で “定義”したもの。

4. f : X_{20} → X_{5} を f([k]_{20}) = [5k]_{5} で “定義”したもの。

問題 7.2. 次の各々はそれぞれ写像としてうまく定義されているか、理由をつけて答えなさい。

1. f : X_{20} → X_{15} を f([k]_{20}) = [k + 1]_{15} で “定義”したもの。

2. f : X_{20} → X_{15} を f([k]_{20}) = [3k + 2]_{15} で “定義”したもの。

3. f : X_{20} → X_{15} を f([k]_{20}) = [4k + 5]_{15} で “定義”したもの。

4. f : X_{20} → X_{15} を f([k]_{20}) = [5k + 8]_{15} で “定義”したもの。

問題 7.3. k は正の整数であるとします。このとき、任意の整数 X に対して、 X(X + 1)(X + 2) … (X + k) は (k + 1)! で割り切れることを示しなさい。ただし、正の整数 n と、 0 以上 n 以下の任意の整数 r に対して、二項係数

nC_{r} = \frac{n(n − 1) … (n − r + 1)}{r!}

が整数になることを用いてもよい。

問題 7.4. 次の各々はそれぞれ写像としてうまく定義されているか、理由をつけて答えなさい。

1. f : X_{20} → X_{15} を f([k]_{20}) = [k^{2} + k + 1]_{15} で “定義”したもの。

2. f : X_{20} → X_{15} を f([k]_{20}) = [k(k + 1)(k + 2)] で “定義”したもの。 3. f : X_{20} → X_{15} を f([k]_{20}) = [k(k + 1)(k + 2)(k + 3)]_{15} で “定義”

したもの。

4. f : X_{20} → X_{15} を f([k]_{20}) = [k(k + 1)(k + 3)]_{15} で “定義”したもの。

問題 7.5. n を正の整数とします。写像 f : X_{n} × X_{n} → X_{n} を

f([k], [l]) = [k + l]

で “定義”したとすると、これは代表元の取り方に依らずにうまく定義されていることを示しなさい。

問題 7.6. n を正の整数とします。写像 f : X_{n} × X_{n} → X_{n} を

f([k], [l]) = [kl]

で “定義”したとすると、これは代表元の取り方に依らずにうまく定義されていることを示しなさい。問題 7.7. 写像 f : X_{5} × X_{8} → X_{5} を

f([k], [l]) = [kl]

で “定義”したとすると、これは代表元の取り方に依らずにうまく定義されているかどうか、理由を述べて答えなさい。

問題 7.8. 写像 f : X_{100} × X_{8} → X_{4} を

f([k], [l]) = [kl]

で “定義”したとすると、これは代表元の取り方に依らずにうまく定義されているかどうか、理由を述べて答えなさい。

問題 7.9. 写像 f : X_{100} × X_{8} → X_{4} を

f([k], [l]) = [k^{3}l + k^{2} + l + 7]

で “定義”したとすると、これは代表元の取り方に依らずにうまく定義されているかどうか、理由を述べて答えなさい。