代数学 A NO.1 要約

一学期の目標群の準同型定理を理解する。

定理 1.1 (群の準同型定理).群 G から別の群 H への準同型写像 ϕ : G → H が与えられたとする。このとき、次が成り立つ。

1. ϕ の像 Image ϕ は H の部分群である。

2. ϕ の核 N = ker ϕ は G の部分群である。

3. 剰余群 G/N は Image ϕ と同型である。

今日のテーマ群の定義を理解する。 \underline{群とは、掛け算 (または足し算) のできる集合のことである。}ただし、

掛け算には、「ちゃんとした性質」がないといけない。

群の基本例は整数の加法群 (ℤ, +) と有理数の乗法群 (ℚ \ {0}, ×) である。どちらも演算 (二つのものから一つのものを計算する規則) が定義されていて、その演算が結合法則を満たす、というところにまず着目して頂きたい。

定義 1.1 (群の定義). 集合 G が群であるとは、 (0) 「演算」と呼ばれる写像 m : G × G → G が定義されていて、次の条件を満たすときに言う。

1. その演算は結合法則を満たす。

m(m(x, y), z) = m(x, m(y, z)) (∀x, y, z ∈ G)

2. G には単位元 (普通 e と書かれる) が存在する。すなわち、ある G の元 e があって、

m(e, x) = x, m(x, e) = x (∀x ∈ G)

がなり立つ。

3. G の各元には逆元がある。すなわち、 G の任意の元 x に対して、 G のある元 y が存在して、

m(x, y) = e, m(y, x) = e

がなりたつ。

注意 1.1. 群の定義において、集合 G を決めただけではどんな演算を考えているのか明確でないので、正確には、組 (G, m) を群と呼ぶ。

例 1.1. 次の (G, m) はそれぞれ群である。 1. G = ℤ, m(x, y) = x + y.

2. G = ℚ \ {0}, m(x, y) = xy.

3. G = GL_{n}(ℝ), m(x, y) = xy.

例 1.2. 次の (G, m) はそれぞれ群\underline{でない}。 1. G = ℕ, m(x, y) = x + y.

2. G = ℚ, m(x, y) = xy.

3. G = GL_{n}(ℝ), m(x, y) = x + y.

• 写像、全射、単射、全単射の復習写像 f : X → Y が、

1. 全射であるとは、どんな Y の元 y を取ってきても、 f(x) = y の解 x ∈ X が存在するときに言う

2. 単射であるとは、 x_{1}, x_{2} が X の異なる二つの元のときには、いつでも f(x_{1}) ≠ f(x_{2}) がなり立つときに言う。

3. 全単射であるというのは、全射でかつ単射のときに言う。写像のことを話すときには始集合 X、終集合 Y を明確にしておく

ことが大事である。

例 1.3. 数 x に対してその二乗 x^{2} を対応させる写像 f を考える。始集合、終集合をいろいろ変えてみることを考えてみよう。

1. f : ℝ → ℝ 全射でも単射でもない。

2. f : ℝ_{>0} → ℝ 単射であるが全射でない。

3. f : ℝ → ℝ_{≥0} 全射であるが単射でない。

4. f : ℝ_{>0} → ℝ_{>0} 全単射である。

• デカルト積集合の復習集合 A, B のデカルト積集合 A × B とは、 A の元と B の元との組

全体のなす集合である。すなわち、

A × B = {(a, b); a ∈ A, b ∈ B}

例えば、

{0, 1, 2} × {a, b} = {(0, a), (0, b), (1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}
{0, 1} × {0, 1} = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}

※レポート問題次の中から一問を選んで、レポートとして提出しなさい。

(期限：次の講義の終了時まで。 ) (I) 適当な数の集合を用いて群の例と群でない例 (演算が定義された

集合だが群にはならない例) を一つずつ挙げなさい。 (オリジナルであること)

(II) ℤ に、演算 m を

m(x, y) = x + y + 1

で定義する。このとき、 (ℤ, m) は群であるか、理由をつけて答えなさい。

● http://www.math.kochi-u.ac.jp/docky/kogi に講義の要約 (このプリント) および補足を提供するので是非アクセスして頂きたい。