代数学 A NO.2 要約

今日のテーマ部分群 \underline{群の部分群とは、部分集合であって群になっているもののことである。} ただし、部分群の掛け算はもとの群の掛け算と一致しなければなら

ない。

部分群の定義に入る前に、群の定義から直ちに導かれる性質についていくつか述べてみよう。以下では G の演算 m(x, y) を単に xy と書くことにする。

定理 2.1. G は群であるとする。このとき、

1. G の単位元はただ一つである。

2. G の元 x を一つとってくると、その逆元はただ一つである。 (これを普通 x^{−1} と書く。 )

3. x ∈ G に対して、 (x^{−1})^{−1} = x が成り立つ。

4. a, b, c ∈ G が ab = cb を満たすなら、必ず a = c が成り立つ。

5. 任意の a, b ∈ G に対して、 (ab)^{−1} = b^{−1}a^{−1} が成り立つ。

6. 任意の a, b, c, d ∈ G に対して、

((ab)c)d = (ab)(cd) = a(b(cd)) = a((bc)d) = (a(bc))d

が成り立つ。すなわち４つの元のかけ算は a, b, c, d の順番のみに依り、かけ算の順番には依らない。 (この積のことを普通単に abcd と書く) (もっとたくさんの元の積についても同様のことが成り立つ。 )

定義 2.1 (群の元のべき乗).G を群、 x をその一つの元とする。

1. 自然数 n に対して、 x^{n} ( 《x の n-乗》 ) は帰納的に次のように定義される。

x^{0} = e (単位元),
x^{n+1} = x^{n}x

2. n が負の整数のときには、 x^{n} は x^{−n} の逆元として定義する。

定理 2.2. x^{m}x^{n} = x^{m+n}

さて、本題に入る。部分群の正確な定義は次のようになる。

定義 2.2 (部分群の定義).群 (G, m) が与えられているとする。 G の部分集合 H が G の部分群であるとは、次の条件を満たすときに言う。

(0) 掛け算 m : G × G → G を H × H に制限すると、これは H に値を持つ。すなわち、次のような写像が誘導される。

m : H × H → H

(1) (H, m) は群である。

条件 (0) は次のように言い換えても良い。 (0′) h, k を H から任意に取ってくると、いつでも m(h, k) は H の元である。例 2.1. 次の集合はそれぞれ (ℤ, +) の部分群である。

1. ℤ 自身。

2. {0}.

3. 偶数全体の集合 2ℤ.

4. 3 の倍数全体の集合 3ℤ. 次の集合はそれぞれ (ℚ^{×}, ×) の部分群である。

1. ℚ^{×} 自身。

2. {1}.

3. {±1}.

4. \{2^{n}; n ∈ ℤ\} (= \{1, 2, 4, 8, 16, 32, … \} ∪ \{\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}, … \})

5. {2^{m}3^{n}; m, n ∈ ℤ}

例 2.2. 次の集合はどれも群 (ℤ, +) の部分群\underline{でない}。 1. 奇数全体の集合 2ℤ + 1.

2. {±1}.

定理 2.3. G の部分群 H が与えられたとする。このとき H の単位元は G の単位元と一致し、 H の元 h の H での逆元は G での逆元と一致する。

定理 2.4. 群 G の部分集合 H が G の部分群であるためには、次の三条件が満足されることが必要十分である。

1. a, b ∈ H ⟹ ab ∈ H

2. e ∈ H

3. a ∈ H ⟹ a^{−1} ∈ H

定理 2.5. (今回は証明の一部分だけをやる。 ) ℤ の部分群は必ず

nℤ (= n の倍数の集合) (n = 0, 1, 2, 3, …)

のどれかである。 (もちろん、 nℤ は ℤ の部分群になっている。 )

※レポート問題次の中から一問を選んで、レポートとして提出しなさい。

(期限：次の講義の終了時まで。 ) (I) 実数の乗法群 (ℝ^{×}, ×) の部分群の例と部分群でない例 (ℝ の部分

集合だが部分群にはならない例) を一つずつ挙げなさい。 (オリジナルであること)

(II) 有理数の加法群 (ℚ, +) の部分群 H が、 3 を元として含んでいた

とします。このとき、

H ⊃ 3ℤ

が成り立つことを示しなさい。