代数学 A NO.3 要約

3. 《生成される部分群》編

今日のテーマ《生成される部分群》群 G と、その部分集合 M とが与えられているとする。このとき、

• \underline{M で生成される G の部分群とは、 M を含む最小の部分群のことである。} • 特に、 G 自身が M で生成される G の部分群であるとき、単に、 G は M で生成される。という。

• 一つの元で生成される群を巡回群という。

《生成される部分群》の正確な定義は次のようになる。

定義 3.1 ( 《生成される部分群》の定義). 群 G とその部分集合 M とが与えられているとする。 G の部分群 H が M で生成される G の部分群であるとは、次の条件を満たすときに言う。

(0) H は M を部分集合として含む G の部分群である。

(1) H は上の条件 (0) を満たすもののうち最小のものである。すなわち、次のことが成り立つ。 K が、 M を部分集合として含む G の部分集合であれば、 H は K の部分群になる。

例 3.1. 整数の加法群 (ℤ, +) を考える。 1. {6} で生成される ℤ の部分群は、 6ℤ である。

2. {4, 10} で生成される ℤ の部分群は、 2ℤ である。

定理 3.1. 群 G と、その部分集合 M が与えられているとする。このとき

1. M で生成される G の部分群は、一意的に存在する。 (これを普通 ⟨M⟩ と書く。 )

2. ⟨M⟩ の元は、

m_{1}m_{2}m_{3}m_{4} … m_{k} (m_{i} ∈ M ∪ M^{−1} (i = 1, 2, …, k))

の形に書ける。 (逆にこの形の元はもちろん H の元である。 )

定理 3.2. 群 G が一つの元 g で生成されるとき、

G = {g^{n}; n ∈ ℤ}

がなり立つ。 (このような、ある一つの元で生成される群を巡回群という。 )

例 3.2. (巡回群の例１)

1. ℤ は 1 で生成される巡回群である。

2. 0 でない整数 n を一つ決める。このとき、 nℤ は n で生成される巡回群である。

次の定理は、あまり覚えなくとも良いが、その証明の際に使われるテクニックを覚えてもらいたい。

定理 3.3. ([ 生成される部分群 ] の定義の使い方の例 )

群 G の部分集合 M と G の元 g_{0} とがあって、 M の元はすべて g_{0} と可換だとすると、 M で生成される G の部分群 ⟨M⟩ の元もすべて g_{0} と可換である。

※レポート問題次の中から一問を選んで、レポートとして提出しなさい。

(期限：次の講義の終了時まで。 ) (I) 整数の加法群 (ℤ, +) の部分集合 M = {−306, 459, 544} で生成さ

れる ℤ の部分群を求めなさい。 (II) 整数の加法群 (ℤ, +) の部分群 H が、 m, n で生成されるとする。

このとき、等式

H = {ma + nb; a, b ∈ ℤ}

が成り立つことを示しなさい。 (III) 群 G の部分集合 M と G の元 g_{0} とがあって、任意の M の元 m

に対し、

g_{0}mg_{0}^{−1} ∈ M

が成り立ったとすると、 M で生成される G の部分群 H = ⟨M⟩ の任意の元 h について

g_{0}hg_{0}^{−1} ∈ H

が成り立つことを示しなさい。