代数学 A NO.4 要約

4. 有限群編

今日のテーマ《有限群》

• 元の数が有限であるような群を、有限群と言う。

• 群 G の元の個数を、 G の位数と言い、 |G| で表す。 \underline{有限群の重要な例として、有限対称群、有限巡回群、二面体群がある。}

定義 4.1. 集合 S が与えられたとする。このとき S から S への全単射の全体は写像の合成に関して群をなす。これを S 上の対称群と言う。有限集合上の対称群を有限対称群と呼ぶ。 n 個の元からなる集合 {1, 2, …, n} の上の対称群を、 n 次の対称群と呼ぶ。

要は、 n 個の元 1, …, n の置換全体のなす群が n 次の対称群である。

定理 4.1. n 次の対称群の位数は n! である。

定義 4.2 (有限巡回群の定義).元の数が有限である巡回群を、有限巡回群と言う。

チャンネルをくるくるまわす群は、有限巡回群である。これを C_{n} と書くのだが、ここでは安直に次のように導入する。

定義 4.3. 𝔖_{n} のなかで a = (1 2 … n − 1 n) で生成される部分群をこの講義では仮に「チャンネルの群」 C_{n} と呼ぶ。

注意上の元 a について、

a(k) = \begin{cases}k + 1 & (k ≠ n のとき) \\ 1 & (k = n のとき) \end{cases}

と書ける。だが、場合分けをするより、もっと楽な方法がある。まず、「チャンネル」の「番号の呼び方」を拡張しておく。 n を決めておいて、 k-チャンネルのことを [k] と書く。 (どの n を考えているかはっきりさせたい時には [k]_{n} と書くこともある。 ) k が 1, 2, 3, …, n のどれかでない場合にも、順繰りに、

[n + 1] = [1], [n + 2] = [2], [n + 3] = [3], …,
[0] = [n], [−1] = [n − 1], [−2] = [n − 2], …

等と約束することにより、全ての整数 k に対して [k] を決めることができる。例えば、 n = 13 ならば、

[14] = [1], [15] = [2], [16] = [3], …,
[0] = [13], [−1] = [12], [−2] = [10], …,
[128] = [10], [−128] = [2], etc

[k] = [l] かどうかは、 k − l が n で割り切れるかどうかで判断できることに注意しておこう。

以上のようにしておいて、 C_{n} は {[1], [2], [3], …, [n]} の置換だとみなすと、

a([k]) = [k + 1]

と書ける。これは以後の定理の証明に非常に有効である。

C_{n} にはもっとちゃんとした名前がある。 ℤ/nℤ と書くのが一番とおりがいいのだが、その理由はこの講義のあとのほうになって来れば自然に分かるだろう。

定理 4.2. C_{n} を、「チャンネルの群」とし、 a = (1 2 … n − 1 n) とおく。このとき、

1. a^{n} = e である。 (e は恒等置換)

2. 整数 k, l に対して、

a^{k} = a^{l}

が成り立つということと、 k − l は n の倍数であるということとは、同値である。

正 n 角形をそれ自身に重ねあわせる操作のなす群を二面体群と言う。これをここでは次のように導入する。

定義 4.4. n は 3 以上の整数であるとする。 𝔖_{n} のなかで、 a = (1 2 … n − 1 n) と、

b = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & … & n − 1 & n \\ n & n − 1 & n − 2 & … & 2 & 1 \end{matrix})

とで生成された群を 𝔻_{n} と書き、二面体群と言う。

注意

等式

b(k) = n − k + 1

が成り立つ。さらに、先ほど述べたようにチャンネルの呼び方の拡張を行っておくと、

b([k]) = [n − k + 1]

が成り立つ。

定理 4.3.

1. 等式 a^{n} = e, b^{2} = e, bab^{−1} = a^{−1} が成り立つ。

2. a^{k}ba^{l} = a^{k−l}b が全ての整数 k, l について成り立つ。

3. 𝔻_{n} の元は

e, a, a^{2}, a^{3}, …, a^{n−1}, b, ab, a^{2}b, a^{3}b, …, a^{n−1}b

の 2n 個ある。特に、 𝔻_{n} の位数は 2n である。

※レポート問題次の中から一問を選んで、レポートとして提出しなさい。

(期限：次の講義の終了時まで。 ) (I) a^{k}(b(a^{l}([x]))) および a^{k−l}(b([x])) を計算することにより、定理 5.3

の 2. を証明しなさい。 (II) 𝔻_{3} = 𝔖_{3} を示しなさい。 (III) 群 G が、二つの元 a, b で生成されていて、 a, b は次のような関係

式を満たすとします。 (a, b は二面体群の a, b とは別物。 )

a^{60} = e, b^{4} = e, ab = ba^{20}

このとき、 G の位数は 12 以下である事を示しなさい。